Media proporcional

La media proporcional es igual que la 3ª proporcional, también se parte de dos segmentos conocidos, la diferencia es que desconocemos el segmento que se repite.

En este caso aplicamos Teorema Pitágoras para resolver. Concretamente el teorema de la altura: la altura relativa a la hipotenusa (de un triángulo rectángulo) es media proporcional de los segmentos en que parte a la hipotenusa.

1º Sobre una recta situamos a+b

2º Hallamos el punto medio M, con la mediatriz.

3º Trazamos arco capaz de 90º (triángulo rectángulo)

4º Perpendicular al extremo común de a, b. Al cortar el arco capaz determina el segmento x buscado.

3ª Proporcional

Se resuelve de igual manera que la 4ª proporcional. La diferencia radica en que para tener 4 segmentos, uno de los dados se repite. Por lo tanto, la 3ª proporcional se halla a partir de dos segmentos dados a, b sabiendo que el b es quien se repite.

1º Se trazan dos rectas secantes r, s que se cortan en V.

2º Se sitúa a desde V, sobre r.

3º Se sitúa b, desde V sobre s y, desde el extremo de a, sobre r.

4º Se halla dirección de paralelismo desde extremos de a (sobre r) y de b (sobre s)

5º Se traza paralela por extremo de b (sobre r).

4ª Proporcional

Aplicando el teorema de Tales (si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes). Los triángulos semejantes tienen ángulos iguales y lados proporcionales.

Por lo tanto, si tenemos e segmentos rectilíneos: a, b, c... podemos hallar el cuarto proporcional utilizando dos rectas secantes r y s.

1º Desde la intersección V, y sobre r, se sitúa el segmento a

2º Desde V, y sobre s, se sitúa b. Los extremos determinan el tercer lado del triángulo, dirección de paralelismo.

3º Sobre r, a continuación de a, se sitúa c. Y desde su extremo se traza la paralela que al cortar s define el segmento x que es 4ª proporcional de los 3 dados.

NOTA: Puedes variar ángulo, moviendo P. O longitud de segmentos dados. La aplicación más frecuente de la proporción es el trazado de escalas gráficas.

Óvalo, conocidos los dos diámetros

Un procedimiento para hallar los centros de los arcos es haciendo la mediatriz de la diferencia de las medidas de los diámetros, en la recta que une dos extremos.

1º Se dibujan, perpendiculares, los dos diámetros AB y CD

2º Resta. Se pasa medida de semidiámetro mayor sobre el eje menor: circunferencia de centro M y R= MC, determinamos C'

3º Dibujamos segmento CB

4º Pasamos el resto BC' sobre el segmento: circunferencia de centro B y R= BC', determinamos C''

5º Mediatriz de CC''. Hallamos los centros Q1 y Q2 al cortar los ejes.

6º Simetría: los centros Q3 y Q4 así como las Líneas de Centro. Se determinan los puntos de Tangencia.

7º Se dibuja la curva.

Eje Radical tangente

El Eje Radical es una recta dibujada por los distintos puntos del plano, que contiene a dos circunferencias, donde la potencia es igual para ambas. Variable en cada punto.

Las propiedades que relacionan las circunferencias y la recta eje radical son útiles para resolver problemas de dibujo técnico, principalmente de tangencias.

El eje radical de una circunferencia es sencillo de calcular cuando las dos circunferencias son tangentes, pues conocemos un punto equipotencial, el de tangencia (recordemos, el valor de potencia de un punto situado en la circunferencia es 0) y también conocemos la propiedad que relaciona el eje radical con la Línea de Centros de las dos circunferencias, que es de ortogonalidad. Por tanto, el eje es la recta que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la Línea de Centros.
Además, se da la particularidad de que escogiendo cualquier punto del eje como centro de la Circunferencia equipotencial, el radio será la distancia hasta el punto de tangencia, puesto que el eje ya es un radio tangente a las dadas.

Dibujar más circunferencias pertenecientes al haz coaxial es muy sencillo: centro, en la Línea de centros; Radio, hasta el punto de Tangencia.

Ejes de homotecia de 3 circunferencias

Cualquier par de circunferencias siempre serán homotéticas entre sí, tanto de forma directa como indirecta. Si tomamos 3 circunferencias y hallamos los centros de homotecia (directo e indirecto) tomadas de dos en dos, obtendremos 3 centros de homotecia directa y 3 indirecta. Además, los centros se alinearán formando las 4 rectas ejes de homotecia: los 3 centros de homotecia directa determinarán uno y cada uno de los centros de homotecia directa con dos indirectos, los otros tres.

Equivalencias: cuadratura del círculo

El método que vamos a seguir para hallar un cuadrado equivalente de un círculo pasa por hallar sucesivamente un triángulo (rectángulo) equivalente, el rectángulo equivalente y finalmente el cuadrado equivalente.

1º Se rectifica la circunferencia (se ha aplicado el método de Arquímedes).

2º Se dibuja el triángulo de base el segmento rectificación y de altura el radio.

3º Se dibuja el rectángulo con la mitad de la base (rectificación) del triángulo y la misma altura (radio).

4º Se halla la media proporcional de la suma de lados del rectángulo (método de la altura del triángulo rectángulo) que será la medida del lado del cuadrado.

cuadratura de círculo

Equicomposición: "Cuadrado" equivalente de triángulo equilátero

En otro momento se ha explicado cómo obtener un cuadrado de cualquier forma poligonal. Ahora vamos a analizar un paso más directo, y sin transformaciones. Vamos a fragmentar una figura para con los trozos construir otra (pudiendo volver a la primera).

Una de las aplicaciones más interesantes que tienen las formas equivalentes son el diseño de puzzles por equicomposición. Las piezas, si se combinan de distintas formas darán como resultados distintas figuras. Esta es la base del famoso puzzle tamgram que también tiene versiones en 3D.

La aplicación al diseño modular es obvia y tiene un aspecto lúdico muy atractivo que abarca la juguetería y el diseño de mobiliario.

Siguiendo el método sencillo de H. E. Dudeney podemos pasar directamente de un triángulo equilátero a un "cuadrado" (las comillas son porque en realidad resultará un rectángulo de lados muy parecidos).

1º Dividimos en 4 partes iguales un lado, y de momento seleccionamos C1 y C2

2º Dividimos con la mediatriz los otros dos lados, tenemos los puntos medios A1 y B1

3º Segmento C1A1

4º Perpendiculares a segmento C1A1 desde B1 y C2.

5º Piezas poligonales: 1 triángulo rectángulo (casi isósceles) y 3 cuadriláteras (2 muy parecidas) cada una con un ángulo de 60º (las 3 esquinas del triángulo equilátero.

6º Se recolocan las piezas: tomando como vértice (para la suma de los 3 ángulos de 60º) la 2ª división del lado inicial del triángulo (ahora punto de la hipotenusa de la pieza pequeña)

NOTA: una vez colocadas todas las piezas se pueden apreciar las ligeras diferencias habidas con el cuadrado.

Elipse homóloga de la circunferencia

Para que una circunferencia tenga por homóloga una elipse, la circunferencia debe ser exterior a la RL. La circunferencia y la elipse se relacionan al igual que el cuadrilátero y el rectángulo. Si tenemos intención de que los ejes de la elipse sean perpendiculares entre sí, esta condición deberá tenerse en cuenta para situar el Centro de homología. Por lo mismo, si una circunferencia se inscribe en un cuadrado o en un cuadrilátero, en este caso, la elipse quedará inscrita en el rectángulo homólogo del anterior. La circunferencia y la recta límite se relacionan por polaridad, siendo el homólogo del polo en la circunferencia, el punto medio de los ejes de la elipse.

Relaciones a tener en cuenta

1º La circunferencia se puede inscribir en un cuadrilátero de cuyo homólogo se obtendrá un rectángulo, en el que se podrá inscribir la elipse homóloga de la circunferencia.

2º Para dibujar el cuadrilátero: se trazarán desde un punto de la RL tangentes a la circunferencia. Sus puntos de tangencia T1 y T2 limitan el diámetro, que será de la elipse en la homóloga. Al prolongarlo cortará a la RL, a partir de este punto de intersección se trazan el otro par de tangentes a la circunferencia, los puntos de tangencia T3 y T4 determinarán el otro diámetro -al cortarse ambos diámetros el punto M, cuyo homólogo será el centro geométrico de la elipse-. Las intersecciones entre las tangentes determinan lados y vértices del cuadrilátero circunscrito a la circunferencia.

3º Para condicionar un rectángulo homólogo del cuadrilátero, se trazará el arco capaz de 90º entre los puntos intersección en la RL. Al situar el Centro de homología Ch en este arco, las rectas homólogas sean perpendiculares. Y las convergentes en RL, serán paralelas.

4º Se trazarán las rectas homólogas con las direcciones desde Ch, de las tangentes y las rectas diámetro para obtener el rectángulo y los diámetros de la elipse.

5º Se construye la elipse siguiendo algún método de construcción, en el ejemplo se ha aplicado el método Xdiámetros.

ELIPSE: método por diámetros

También llamado método por afinidad -aplicando la relación de afinidad entre circunferencia y elipse-. Para utilizar este método tan solo se precisan las dimensiones de sus diámetros -los focos si se necesitaran se podrían hallar por separado-.

1º Se dibujan las circunferencias concéntricas en M (punto medio de los diámetros) y con radio las medidas a, b.

2º Se dividen las circunferencias con rectas diámetro (pasan por el centro). Aunque cualesquiera son válidas se procurar buscar la simetría trazando bisectrices de los ángulos centrales. La simetría facilita la compresión y el trazado.

3º Tomando cada semirrecta desde el centro y sus intersecciones con las circunferencias se trazan paralelas a los ejes. Por la circunferencia pequeña al AB y por la mayor al CD. La intersección de estas dos paralelas determina punto de la curva elipse.

4º Se repite el proceso con las otras semirrectas, además se puede aprovechar la doble simetría tanto de las rectas paralelas como de los puntos obtenidos de la curva

Los ángulos del triángulo suman 180º

Los grados sexagesimales tienen en cuenta el máximo de amplitud de 360º para el ángulo completo que es la circunferencia, por lo que la partición de la misma por el diámetro nos determina la bisectriz del mismo y el valor de 180º para el ángulo llano.

Esta cantidad es la misma que para la suma de los ángulos del triángulo y se puede demostrar fácilmente trazando una paralela a un lado por el vértice opuesto, la prolongación de los otros dos lados dibujará los mismos ángulos que configuran el triángulo.

NOTA: puedes variar la forma del triángulo

Parábola como homóloga de circunferencia

La homología de la circunferencia determina curva cónica. Para que esta resulte una parábola, la circunferencia dada debe ser tangente a la RL. La posición del Centro de homología no es determinante pero sí las direcciones que se tendrán que buscar.

1º Dibujar circunferencia tangente a la RL. Punto TRL , cuyo homólogo será punto impropio de la parábola (punto que la cerraría al cortarse con el eje de la misma), lo que implica que también será punto del eje y por tanto, la dirección ChTRL será la del eje de la parábola

2º Como la directriz es perpendicular al eje de la parábola, se halla la dirección que habrá de tener con la perpendicular a la anterior. Desde la intersección en la RL se traza la tangente a la circunferencia, está será la tangente a la parábola en el vértice -por lo que el punto de tangencia es V-. Tenemos determinado el eje de la parábola con el segmento T-TRL y su dirección a partir del centro de homología.

3º Se dibuja el eje de la parábola y se sitúa V' en él. También necesitaremos la homóloga de la recta tangente para hallar el foco. Aplicando la propiedad: la proyección ortogonal del foco sobre cualquier tangente a la parábola se encuentra en la tangente al vértice.

4º Se dibuja otra recta tangente a la circunferencia, en el punto T3. Se determina su dirección para la homóloga. Y la perpendicular a esta dirección, será la de proyección ortogonal para F. La intersección de la tangente por T3 con la tangente por V determina el punto desde el cual trazar la perpendicular. Se une este punto con el de dirección de su homóloga, hallado en la RL.

5º La homóloga de la anterior, al cortar al eje de la parábola determina la posición del Foco F'.

6º La directriz, equidista del vértice la distancia al foco. Una circunferencia nos determina la intersección con el eje de la parábola, la perpendicular al eje por este punto.

7º Como la parábola está totalmente definida, se puede construir siguiendo por ejemplo el método por puntos.

En el dibujo se comprueba que la tangente en la circunferencia -por punto T3- tiene también su homóloga tangente a la parábola -en el punto T'3-.

Parábola: propiedades

1ª Propiedad: Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz, por ello, con centro en cualquier punto P de la curva, se puede dibujar una circunferencia que, al pasar por F, será tangente a la directriz.

Esta propiedad es aplicable para la construcción de la curva y para resolver problemas de tangencia.

2ª Propiedad: La proyección ortogonal del foco sobre cualquier tangente a la curva, da el punto de intersección entre esa tangente y la tangente trazada por el vértice. O bien, si tenemos la tangente a la curva en el vértice -punto de inflexión-, cualquier otra tangente a la curva la cortará y en el punto de intersección se puede trazar una perpendicular a esta tangente que pasará por el foco.

Esta propiedad es aplicable para la construcción de homóloga de circunferencia tangente a Recta Límite que determinará una parábola.

Ángulo entre circunferencias

El ángulo formado por dos líneas que se cortan (líneas o curvas) tiene por vértice el punto de intersección y los lados son las tangentes en ese punto.

El ángulo entre 2 circunferencias, secantes o tangentes, tendrá por vértice el punto de contacto (si son secantes habrá dos solucione simétricas). Las tangentes en ese punto determinarán la apertura del mismo. Si las circunferencias son tangentes, los lados tangentes coinciden en la recta tangente común en ese punto.

Circunferencias secantes

Circunferencias tangentes Si las circunferencias son exteriores, no hay vértice definido. Para analizar el ángulo entre ellas, se trazarán las tangentes, desde el centro de una a la otra circunferencia, y la prolongación de los radios en esos puntos de tangencia serán los lados que determinarán el vértice del ángulo al cortarse.

Circunferencias exteriores CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES: Se dice que dos circunferencias son ortogonales cuando el valor del ángulo que forman es de 90º.

Aplicación en potencia

La circunferencia equipotencial es secante y ortogonal a todas las circunferencias del mismo haz, y tendrá su centro en el eje radical del mismo. Por lo que el radio de la equipotencial en el punto de intersección será la recta tangente de la otra considerada -y viceversa-.

Circunferencias secantes ortogonales

Polígono convexo equivalente de polígono cóncavo de n lados

Dos polígonos equivalentes son aquellos que tienen áreas con el mismo valor. Obtener un polígono convexo equivalente de uno cóncavo se puede conseguir si se descompone la figura cóncava en triángulos. Cada triángulo se podrá transformar en otros o bien en un rectángulo. Si se desea obtener una única figura, como resultado final, se podrán convertir cada triángulo en un cuadrado equivalente, sumar estos de dos en dos y a partir del último cuadrado, obtener el polígono que se desee.

Los primeros pasos se muestran en el ejemplo.

1º Descomponer en triángulos, incluido el núcleo convexo, que si es de más de 3 lados se transformará en triángulo equivalente.

2º Cada triángulo en rectángulos equivalentes. Si alguno tiene coincidencia de lado se podrán sumar directamente. En el ejemplo se obtienen los rectángulos A, B, C, D y E. Y se da el caso de que A+E forman un rectángulo equivalente. La figura que conserva la misma área que el polígono dado es la suma de A+B+C+D+E

 Cuando se tienen polígonos cóncavos regulares, se obtienen rectángulos con un lado de igual tamaño, por lo que es fácil sumarlos. Cuando se obtienen lados desiguales, si se pasan a cuadrados equivalentes se podrán sumar -aplicando el Teorema de Tales (ver cuadrado equivalente a 2 cuadrados)-. Una vez que se tiene un único cuadrado como solución, este a su vez se podrá transformar en otras figuras equivalentes, que lo serán de ese cuadrado y del primer polígono cóncavo dado.

Triángulo equivalente de polígono convexo de n lados

Un polígono convexo cualquiera puede ser transformado en un triángulo equivalente. Para ello se debe trabajar a partir de formas triangulares en el polígono, cada triángulo se transformará en otro que sea prolongación de un lado de la figura.

Una vez que se tiene el triángulo, este a su vez se puede seguir transformando sucesivamente en otro triángulo, un rectángulo, en cuadrado.