CÓMO TRAZAR ÁNGULOS CON PRECISIÓN

 Los ángulos están formados por 2 semirrectas que tienen el mismo punto de origen, el vértice. Esas semirrectas se llaman lados. Lo cual implica manejar una plantilla para dibujarlos con precisión, preferentemente escuadra o cartabón.

Si se desea un ángulo con una medida concreta, tendremos en cuenta que el ángulo es un sector de plano y quien lo representa completo es la circunferencia. En la medición centesimal la circunferencia se considera de 400º mientras que en la sexagesimal, típica en clase de secundaria, se consideran 360º. Las medidas de los ángulos se dan en grados, minutos y segundos y cuyas cantidades se contabilizan como en un reloj. Es decir, 60 segundos = 1 minuto, 60 minutos = 1 grado. Aunque lo más habitual es procurar trabajar con ángulos enteros en grados (sin precisar minutos, ni mucho menos segundos). ¿Y por qué se hace esto? Una explicación posible es que si dividimos la circunferencia en 24 partes angulares (1 día) obtenemos medidas iguales de 15º que curiosamente es la cantidad mínima con la que se puede trabajar el ángulo entero con la escuadra, cartabón y compás que también coincide con los meridianos terrestres y sus respectivos cambios horarios (cada 15 grados se cambia la hora del reloj). Evidentemente, la relación circunferencia y esfera es muy directa.

Pero con qué podemos trazar un ángulo entero con precisión. Pues tenemos 3 posibilidades básicas que se pueden combinar entre sí (y con al menos siempre una de las 2 plantillas).

1. TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS
2. COMPÁS
3. PLANTILLAS ESCUADRA Y CARTABÓN

Lo más habitual será que además necesitemos cambiar de sitio un ángulo por lo que conviene saber trasladar un ángulo.

La capacidad del dibujante manejando escuadra, cartabón y compás junto a su conocimiento de operaciones con ángulos: traslación, suma, resta, división entre 2 (bisectriz) le confieren versatilidad en el trazado y dominio de la precisión.

 

Clasificación de triángulos

Los triángulos son polígonos pues están delimitados por una línea quebrada (línea polígonal) cerrada que determina 3 lados (siendo la suma de dos lados mayor que la longitud del 3º) y 3 ángulos convexos (cuya suma es 180º sexagesimales).
Todos los triángulos son polígonos convexos, pues ninguno de sus ángulos puede ser cóncavo. Todos son inscribibles en una circunferencia (tienen incentro) y todos pueden ser circunscritos por una circunferencia (tienen circuncentro).

La clasificación más habitual es según dos criterios, y ambos pueden combinarse para describir mejor a un triángulo.

Criterio amplitud de ángulos

• ACUTÁNGULOS. Si todos sus ángulos son menores de 90º.
• RECTÁNGULOS. Si tienen un ángulo de 90º.
• OBTUSÁNGULOS. Si tienen un ángulo mayor de 90º.

Criterio regularidad de lados

• EQUILÁTEROS. Son los regulares. Todos sus lados tienen la misma longitud. Y sus ángulos la misma amplitud, o sea 60º.
• ISÓSCELES. Dos de sus lados miden lo mismo. Por lo que 2 ángulos también serán iguales, justo aquellos situados en los extremos del lado desigual.
• ESCALENO. Los 3 lados desiguales, los 3 ángulos también.

NOMENCLATURA DEL TRIÁNGULO

 La nomenclatura consiste en letras y símbolos que se colocan en el dibujo, para nombrar partes del mismo y que pueden tener variadas formas, desde el punto a líneas, ángulos o incluso figuras. En el triángulo se puede dar nomenclatura a vértices y/o lados, pero siempre teniendo en cuenta el orden adecuado contrario a las agujas del reloj, si este se cambia de sentido se dibuja un triángulo invertido o simétrico (si se coloca a favor de las agujas). Si se desordena, por cambiar el sentido o descolocar aleatoriamente, al partir de ciertos datos (lados y/o ángulos en vértices concretos, por ejemplo), no se estará resolviendo el problema, pues la solución será distinta a la dibujada.

Guada, 2023

Circunferencias de R conocido, tangentes a 2 circunferencias dadas

Para resolver este problema hay que tener en cuenta que la cantidad de soluciones dependerá del tamaño de la solución y de la relación espacial entre las circunferencias dato. En el ejemplo trazado, se han considerado un tamaño grande para la solución y la relación espacial entre las circunferencias es exterior.

La complejidad de la resolución es más debido al efecto visual de la 8 soluciones dibujadas, con sus respectivos pares de puntos de tangencia (uno con cada circunferencia dada, por tanto 16 en total), que a la dificultad real. Pues se trata de sumar y restar radios, dibujar las circunferencias con estas medidas, hallar sus intersecciones y después dibujar las soluciones (con sus T correspondientes).

Para seguir la representación

1. Circunferencias dadas de centros Q1 y Q2. Y medida del radio solución.
2. Aplicación de lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a cada una de las dadas, con el radio solución pedido.
1. R= Rs + R1 Circunferencia verde de trazos, con centro en Q1
2. R= Rs + R2 Circunferencia verde de trazos, con centro en Q2
3. R= Rs - R1 Circunferencia roja de trazos, con centro en Q1
4. R= Rs - R2 Circunferencia roja de trazos, con centro en Q2
3. Las intersecciones, entre las 4 circunferencias de trazos, dan los 8 centros solución. Al pinchar en ellos el compás, con la medida del R solución, salen las 8 soluciones: Las de color verde exteriores a ambas (subíndice e), las de color rojo interiores a ambas (subíndice i) y las de color negro alternan interior-exterior con cada una de las dadas (subíndices ie y ei).
4. Encontrar los puntos de tangencia requiere aplicar la relación que hay entre los centros de dos circunferencias tangentes y el punto de tangencia, es decir: el punto T está en la Línea de Centros que determinan las circunferencias tangentes. En el dibujo, se han respetado los colores para identificar más fácilmente de entre qué circunferencias se trata el punto de tangencia determinado.

Por último, se puede variar en el GeoGebra el tamaño de la solución así como tamaño y relación espacial entre las circunferencias. Para ello se aconseja hacerlo en el inicio de la representación.

Guada, 2021

CUERDA, DIÁMETRO Y MEDIATRIZ

Si trazamos la mediatriz de cualquier cuerda, en una circunferencia, tendremos una recta secante que determinará el segmento cuerda diámetro. Este segmento suele denominarse mediatriz, aunque en este caso no se trate de toda la recta sino solamente del trozo diámetro, que es la cuerda de mayor longitud que se puede dibujar en una circunferencia.

En algunos problemas se da la mediatriz como dato de medida concreta, es decir, se da el segmento-cuerda-diámetro de la circunferencia. Una posible aplicación es la construcción de un polígono inscriptible cualquiera como triángulo, rectángulo, polígono regular... teniendo en cuenta que ese diámetro es el de la circunferencia que circunscribe al polígono. Luego, llamándolo de otra forma (mediatriz) están dándonos el diámetro de esa circunferencia.

Cómo dibujar una escala gráfica

La escala es una proporción y se puede dibujar.

En primer lugar hay que comprender que la notación de escala es una fracción que compara dos tamaños, el tamaño del dibujo respecto del tamaño real de lo dibujado, es decir

E = lo que ocupa en el papel : lo que mide en la realidad

Gráficamente obtendríamos un segmento donde la medida real es el nº que vamos a utilizar para medir.

EJEMPLOS

Utilizando el cm como módulo

E= 1:100

Cogeríamos con el compás 1 cm desde cero y en la medida real podríamos 100.

E= 3:7

Cogeríamos con el compás desde cero 1 cm 3 veces (3x1cm) y en la medida real podríamos 7.

E= 8:3

Cogeríamos con el compás 1 cm 8 veces (8x1cm) y en la medida real podríamos 3.

Lo siguiente es tener claro que la escala gráfica es una regla y por tanto debemos poner suficientes medidas reales para poder medir correctamente con ella (y el compás) así como subdivisiones (contraescala, a la izquierda del cero) para obtener una medición más precisa.

Esto supone tener en cuenta cómo contamos de forma rápida: De uno en uno, de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10, de 20 en 20, de 25 en 25, de 50 en 50, de 100 en 100, de 500 en 500, de 100 en 100...

Y supone también tener en cuenta el tamaño del segmento que nos ha quedado, pues si es del tamaño cm o mayor podremos dividirlo en 10 partes iguales pero si resulta más pequeño que el cm tendremos que dividirlo en menos trozos.

Para hacer la contraescala pasamos con el compás el segmento al lado izquierdo del cero. Y lo dividimos en partes iguales (aplicando Teorema de Tales si hacemos operación gráfica). Cada subparte será la precisión conseguida.

En la presentación se pueden ver distintos pasos para dibujar cada ejemplo dado, hasta una opción de aspecto final.

Dibujar escalas gráficas de ranabria

Guada, 2020

¿INSCRIBE O CIRCUNSCRIBE?

 Los dos términos se refieren a cómo se relacionan espacialmente una circunferencia y un polígono, cuando tienen puntos en común.

Si los vértices del polígono están en una circunferencia, el polígono está circunscrito por la circunferencia. En este caso, vemos cómo la circunferencia es la que "abraza" al polígono. Mientras que el polígono es el "abrazado", es decir está inscrito.

Si la circunferencia toca a cada lado del polígono, esto solo es posible cuando la circunferencia es la "abrazada", por tanto ella está circunscrita por el polígono. Mientras, el polígono que es quien abraza tiene a la circunferencia inscrita y por tanto tangente interior.

Resumiendo: "circunscribe lo que abraza, se inscribe lo abrazado".

El punto de vista nos dirá qué buscamos y por tanto qué término debemos utilizar.

1. Dada una circunferencia.... inscribe un polígono en ella. O bien circunscribe un polígono.
2. Dado un polígono.... inscribe una circunferencia. O bien dado un polígono circunscribe una circunferencia.

El punto de vista del polígono es el que nos puede guiar mejor, y teniendo en cuenta los puntos notables de un triángulo llamados circuncentro e incentro.

Si queremos trazar circunferencia circunscrita, la que pasa por los vértices, buscaremos el circuncentro. Si las mediatrices de todos los lados se cortan en un mismo punto, ese es el centro de la circunferencia circunscrita. Entonces, el polígono es circunscrito por una circunferencia, pero también está inscrito en  la circunferencia.

Si queremos trazar circunferencia inscrita, la que es tangente interior a los lados del polígono, hallaremos el incentro. Si todas las bisectrices se cortan en un mismo punto, ese es el centro de la circunferencia inscrita. Una vez trazada, el polígono es el circunscrito y la circunferencia la inscrita.

POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS INSCRITA Y CIRCUNSCRITA

Hay cierto tipo de polígonos a los que se les puede inscribir y circunscribir circunferencia, mientras que a otros solo una de ellas o bien ninguna de ambas. 

• TRIÁNGULOS. Tienen incentro y circuncentro. Por tanto se pueden inscribir y circunscribir.
• POLÍGONOS REGULARES. También tienen incentro y circuncentro. Se pueden inscribir y circunscribir. Esta característica permite que para construir polígonos regulares se utilice de forma habitual el dato de la circunferencia circunscrita, tanto para método particular como para método general.
• POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS. Se pueden inscribir en circunferencia pero no tendrán circunferencia inscrita debido a los ángulos cóncavos.
• POLÍGONOS IRREGULARES. Si tienen incentro, se podrán inscribir y si tienen circuncentro se podrán circunscribir. Ambas cualidades a la vez no se darán en los que tengan más de 3 lados y la mayoría de los polígonos irregulares carece de incentro y circuncentro.

Guada, 2020

PROPIEDAD DE TRIÁNGULOS: SUMA DE LADOS

Esta propiedad se explica al sumar lados de un triángulo cualquiera para construir otro triángulo que es isósceles y adyacente del inicial. 

La relación geométrica creada entre ambos triángulos es la siguiente:

• La mediatriz del lado desigual pasa por el vértice que parte la suma de lados.
• El ángulo que se repite en el isósceles, es la mitad del ángulo del triángulo inicial, en el vértice que parte la suma.

 

Guada, 2020

TRASLADAR UN ÁNGULO CON EL COMPÁS

 Para trasladar un ángulo con el compás se hace un primer arco con centro en el vértice dado y se repite con el mismo radio en el nuevo vértice. Después se toma con el compás la distancia entre los puntos de intersección del arco con los lados del ángulo dado y se pasa a la nueva posición. Los pasos son similares a la construcción de un triángulo isósceles, donde el lado desigual es la distancia entre dichas intersecciones.

RECTÁNGULO

 Es un cuadrilátero paralelogramo que tiene todos los ángulos iguales de amplitud 90º y los lados opuestos iguales 2 a 2. Sus diagonales son iguales y se cortan en el punto medio, punto por el que también pasan las mediatrices de los lados. Esto permite que el polígono sea inscriptible en una circunferencia y por tanto que se pueda dibujar la circunferencia circunscrita al rectángulo.

Guada, 2020

ROMBO

 El rombo es un cuadrilátero paralelogramo que tiene los 4 lados iguales y los ángulos iguales 2 a 2. Sus diagonales son desiguales y perpendiculares, siendo cada una mediatriz de la otra. Además, son bisectriz de los ángulos que dividen lo cual permite el trazado de la circunferencia inscrita, con centro en la intersección de las diagonales. 

Guada, 2020

Triángulo equilátero en plano oblicuo dada altura

Se pide situar el triángulo equilátero en un plano oblicuo, aplicando afinidad. Datos conocidos:

Traza horizontal del plano

Proyección horizontal de la altura, y vertical del pie de la altura.

Triangulo equilátero en plano oblicuo y con lados en planos de proyección

Este problema es uno de los que pueden proponer en la EBAU de Dibujo Técnico. Y del cual han publicado solución. Como datos dibujados, la Línea de Tierra y la traza vertical del plano oblicuo. Como datos pedidos un triángulo equilátero que debe estar en el plano y además  con dos de sus lados en un plano de proyección, uno en cada uno.
Esto supone que cada uno de esos dos lados deberá pertenecer a la traza del plano oblicuo correspondiente.

• Lado en el plano vertical de proyección, en la traza vertical del plano oblicuo.
• Lado en el plano horizontal de proyección, en la traza horizontal del plano oblicuo.

Como ambas trazas deberán cortarse en la Linea de Tierra, uno de los vértices del triángulo estará ahí. El segundo vértice se sitúa a la distancia lado en la traza vertical dada.
Para visualizarlo se puede hacer un montaje en 3D con un cartabón que haría del plano oblicuo dado, con el triángulo en la posición descrita.

Para ver la resolución paso a paso, en el archivo GeoGebra.

Cómo dibujar en perspectiva: tipos de perspectiva habituales

Para dibujar un volumen podemos elegir entre diferentes tipos de perspectivas. Conocer sus características nos ayuda a una selección razonada y un trazado coherente. Para ello veremos los siguientes apartados:

1. Qué tipo de perspectiva
2. Disposición de los ejes
3. Punto de vista elegido
4. Escala a la que se pide el dibujo
5. Reducción en los ejes
6. Pruebas a mano alzada

• Qué tipo de perspectiva

Las perspectivas se clasifican según varios criterios: la orientación espacial o disposición de los ejes respecto del plano del cuadro (papel sobre el que dibujamos, para entendernos), la dirección de proyección sobre el plano del cuadro, la dirección entre rayos proyectantes. Para una exhaustiva clasificación se pueden añadir condiciones.

Grupos básicos:

1. Perspectivas cilíndricas (rayos proyectantes paralelos). Las más utilizadas son la isométrica de proyección perpendicular y la caballera de proyección oblicua. Son perspectivas de rápida ejecución pero el realismo es menor que en las cónicas.
2. Perspectivas cónicas (rayos proyectantes divergentes). Son habituales la central (de 1 punto de fuga) y la oblicua de 2 puntos de fuga. Son perspectivas más elaboradas y que la visión de un ojo humano.

En cualquiera de estas perspectivas, el eje z vertical se dibujará siempre en posición vertical (en la perspectiva militar, sin embargo, el eje z varía su inclinación).

• Disposición de los ejes.

Dos aspectos de la realidad a tener en cuenta:

1. Oblicuidad, luego reducción. Miremos lo que ocupa un brazo por ejemplo, en un espejo. Vemos con el brazo estirado y en paralelo al espejo su longitud máxima (largo del brazo), pero a medida que el brazo, bien estirado, lo enfocamos hacia el espejo, parece acortarse y si lo ponemos totalmente perpendicular su longitud habrá desaparecido (la mano tapa todo el brazo). Esto se resuelve en perspectiva aplicando una reducción, en el eje que esté dispuesto de posición oblicua respecto del plano del cuadro.
2. Cerca-lejos, luego reducción paulatina. Se trata de un gradiente de reducción que sirve tanto para la oblicuidad como para la situación de objetos a diferentes distancias y que determinarán que aunque sean iguales de tamaño se vean más pequeños cuanto más lejos estén. Es el concepto de profundidad aplicado con mayor realismo. Y este contexto lo ofrece la perspectiva cónica gracias al centro de la radiación situado en el supuesto ojo del espectador -claramente no hay 2 ojos por lo que la visión binocular humana es imitada parcialmente-. La perspectiva cónica es la más utilizada por los artistas, a veces de forma intuitiva y otras con verdadera fidelidad técnica.

En el ejemplo de caballera se observa que la mayor o menor distancia o la posición relativa entre los cubos iguales, no cambia su tamaño.

En perspectiva isométrica sucede lo mismo

Al dibujar en perspectiva se nos exige un esfuerzo de visión espacial. Y si la construcción es correcta, la lectura será coherente y sencilla.

Caballera. El eje y se puede cambiar de posición pues la dirección de proyección sobre el plano del cuadro puede ser cualquiera. Sea el ángulo que sea el que dibuje el eje y con el x y con el z, tendremos que interpretarlo de 90º. En cuanto al ángulo xz, se ve en verdadera magnitud, dado el paralelismo entre el plano del cuadro y el espectador.

Isométrica. La dirección de los 3 ejes es fija. La disposición equidistante de la angulosidad de cada eje en el espacio respecto del plano del cuadro determina una intersección de puntos equidistantes que son los vértices de un triángulo equilátero, el triángulo de las trazas. Los ejes proyectados forman las alturas de ese triángulo y dibujan ángulos de 120º.

• Punto de vista elegido

En la perspectiva caballera, el punto de vista del espectador se supone en paralelo a los ejes xz, con lo que una de las caras de la figura será la protagonista indiscutible, se ve en verdadera magnitud y forma. Por eso suele elegirse para que se vea en ella la dirección del alzado y en caso de huecos cilíndricos se procurará situar la vista de la cara circular en ella (para simplificar trazado). Después, la disposición del eje y (profundidad) determinará cuáles serán las otras caras importantes: superior, inferior, derecha, izquierda. En el ejemplo de Geogebra puedes mover el eje y para variar puntos de vista.

Caballera normalizada. El eje y se dispone en la bisectriz del ángulo formado por xz, y el coeficiente de reducción es Cy= 1/2. Esto simplifica tanto el cálculo en y como el trazado de ejes y de las aristas paralelas a los ejes. Los ángulos coinciden con la escuadra y al combinarla con el cartabón, el trazado es más rápido.

En la cónica central, al igual que en caballera, el espectador se sitúa paralelo a una cara de la pieza.

En la isométrica, la visión se centrará en la esquina superior más cercana al espectador. A partir de aquí se dará igual importancia a las caras izquierda, derecha y superior de la pieza. Lo que en algunos casos provoca confusión espacial si coinciden el vértice más próximo con el vértice más lejano, como sucede al dibujar un cubo o hexaedro.

En la cónica oblicua de 2 puntos de fuga, la situación del espectador es paralela al eje z vertical. Y  por supuesto, puede variar su posición de punto de vista.

• Escala a la que se pide el dibujo

La unidad métrica, cm como módulo y mm como submódulo (si no se especifica otra unidad), se tendrá que proporcionar según la escala pedida, antes de empezar a graduar los ejes.

• Reducción en los ejes. Coeficiente de reducción.

Cuando un eje está en paralelo al espectador no se aplican reducciones en él, pues la medida se ve en verdadera magnitud. Por lo tanto en ese eje se podrá poner la unidad métrica directamente (tras tener en cuenta la escala). Cuando un eje está en oblicuo, se precisa de una reducción en la medición para una mayor sensación real del objeto. Y se aplicará, después de la adaptación a la escala.

En la perspectiva isométrica, la reducción de eje es siempre la misma e igual en los 3 (misma oblicuidad con el plano del cuadro) por lo que no se suele aplicar (sin reducción). En la perspectiva caballera solo se aplica en el eje y (y puede ser cualquiera). En las perspectivas cónicas la reducción es paulatina, hace un gradiente de tamaños, por lo que cuanto más lejos, más pequeño todo. Para calcularla se utilizan los puntos métricos. En los ejemplos: D en central, M en oblicua).

• Pruebas a mano alzada

TRAS DECIDIR QUÉ PERSPECTIVA, QUÉ DISPOSICIÓN DE EJES, QUÉ POSICIÓN PARA LA PIEZA (dirección del alzado), trabaja la visualización de la pieza, a mano alzada. Hasta que entiendas bien su forma 3D. Te será útil tener en cuenta las dimensiones máximas, es decir el prisma en que estaría encajado su volumen. Lo siguiente será trabajar con líneas paralelas a los ejes, analizar la pieza por otros prismas que la configuren (puzzle tridimensional), tener en cuenta ejes de simetría y otras relaciones geométricas.

Guada, 2020

Simetría

La simetría es una relación entre 2 o más formas en las que el tamaño es el mismo y la configuración aparentemente es la misma, pero está invertida punto por punto, al compararlas entre sí. Hay 2 tipos de simetría básicos:

1. Simetría bilateral o de eje.
2. Simetría radial o central.

En la Naturaleza abunda la simetría. Nosotros tenemos simetría bilateral vistos de frente, en vista posterior, en planta (superior e inferior). Y muchos animales y plantas comparten esta característica.

En cuanto a la simetría central, la vemos más en las plantas, sobre todo en sus flores. Aunque algunos animales también la poseen, como las estrellas y los erizos de mar.

Ambas simetrías se pueden estudiar en Dibujo Técnico como homologías especiales.

En la simetría de eje, tendríamos el eje de afinidad con una dirección ortogonal y el valor k= -1. El signo negativo hace referencia a que se sitúa al otro lado del eje, cada punto de la figura. La proporción de la unidad es la escala natural (E= 1:1 = coeficiente 1 Es decir igual tamaño que el original e igual distancia). Y la dirección ortogonal es la de perpendicularidad con respeto del eje, pues hace el efecto de espejo. Por eso al trazar la simetría, dibujaremos rectas perpendiculares al eje que pasen por cada punto de la figura. Para la equidistancia usaremos el compás, con centro en la intersección de cada perpendicular con el eje y radio la distancia hasta el punto del que hallaremos su simétrico. Finalmente uniremos los puntos para dibujar la figura con todos sus lados.

En la simetría radial o central, estaríamos en una homotecia donde el valor también sería k= -1. De nuevo el valor negativo indica al otro lado, en este caso del centro de homotecia. Y la proporción de la unidad también se refiere a la escala natural (equidistancia). Aquí las direcciones de los pares de puntos simétricos son divergentes desde el centro de homotecia que es el centro de la radiación.

El aspecto de cada dibujo difiere ligeramente según se trabaje una simetría u otra. El efecto de inversión es solamente lateral en la simetría de eje. Y el efecto de inversión es lateral y de arriba abajo en la simetría central.

Al trazar la simetría, 1º dibujaremos las rectas que pasen por el centro de simetría (V en el dibujo) desde cada uno de los vértices de la figura dada. Con el compás haremos centro siempre en el centro de simetría V y los radios serán la distancia a cada punto del que queramos obtener su simétrico. Tras hallar todos los puntos, se unen para hallar la figura resultante.

Trazado de simetría artística
Una técnica sencilla para dibujar figuras simétricas es utilizando dobleces en papel. Con un solo doblez se consigue 1 eje de simetría.
En el caso de simetría central. Necesitaríamos varios dobleces de papel, dejando el centro de simetría en el centro de la hoja.
Otra técnica es calcar la figura después de darle vuelta al papel (este es el mismo efecto que el selfie).

Es adecuada para figuras más complejas que los polígonos. Por ejemplo hoja de un árbol, alas de una mariposa.

Si quisiéramos hacerlo con instrumental de precisión, tendríamos que trabajar muchos puntos para tener una idea de por dónde iría su trazado.
Y lo más sencillo de todo: utilizar un programa de ordenador que permita hacer simetría.

Guada, 2020

Tangencia entre circunferencia y recta

La relación de tangencia entre dos entes geométricos planos es la de contacto en la que un punto, y solo un punto, es común a ambas formas geométricas lineales. Una de ellas siempre será curva mientras que la otra podrá ser curva o recta. La unión a través del punto de tangencia permite trazar una línea de trazado mixto, es decir con trozos de líneas de distinto tipo, estas líneas son de enlace tangencial. Las líneas de enlace tangencial se aplican frecuentemente en el diseño y permiten el trazado preciso de ciertas curvas.

La relación de tangencia más básica es entre circunferencia y recta (y viceversa) y cuando esta se produce siempre se cumple la propiedad: El Radio es perpendicular a la recta tangente, en el punto de Tangencia.

Si lo que se desea es trazar tangentes a una circunferencia, desde un punto P (nunca interior, pues no habría solución), entonces habrá 1 tangente si el punto está en la circunferencia y dos tangentes si es exterior, además ambas serán simétricas de la recta que una P con el centro. Los pasos:

1º Recta PQ

2º Mediatriz de PQ, pues se precisa el punto medio M

3º Circunferencia de centro M y Radio hasta Q, al secar a la circunferencia dada se obtienen los puntos de contacto T1 y T2.

4º Las tangentes unen cada punto de tangencia con P.

Otras consideraciones:

Las rectas tangentes a una circunferencia son ejes radicales de circunferencias tangentes. Por lo que P se puede considerar centro radical, PT al cuadrado sería el valor de la potencia en ese punto y se podría trazar circunferencia equipotencial de centro P y radio hasta T, la cual sería ortogonal de la dada.

Si invertimos los datos de inicio, es decir: circunferencia de Radio dado tangente a dos rectas que se cortan, observamos que el centro de las circunferencias solución está en la bisectriz, es decir, la recta PQ que trazamos en la solución expuesta gráficamente.

Qué es la acotación

La acotación es el sistema gráfico con el que se colocan las medidas de un objeto en su dibujo. Por supuesto, siempre se trata de dar las medidas reales, independientemente de a qué tamaño se realice el dibujo (escala) y aunque se trace a mano alzada. Esto suele crear confusión entre el alumnado, por lo que es muy importante tenerlo en cuenta.

La medida que se pone en el dibujo siempre es la medida real

Cómo colocar las medidas (cotas) y cómo dibujar las líneas (de cota) sobre las que se situarán las medidas tiene que seguir unas reglas o normas de acotación puesto que la acotación está normalizada (como todo en Dibujo Técnico).
Dependiendo del sistema de acotación y del tipo de dibujo encontraremos ciertas variaciones. Por ejemplo, la línea de cota en el dibujo arquitectónico se delimita por un pequeño trazo mientras que en el dibujo industrial hay que dibujar puntas de flecha.

Debido a que en el examen EBAU (antiguamente PAU) se pide acotación industrial es esta la que practicamos más a menudo, en el aula.

Antes de concretar normas de acotación, debemos pensar en su función. Pues debe facilitar la comprensión formal del objeto real 3D. Las dimensiones son en los 3 ejes: X para el ancho, Y para la profundidad, Z para la altura. Se dan siguiendo este orden o bien especificando a qué dimensión nos referimos.

Los elementos gráficos de la acotación son 3:

1. Cota o medida (sin añadir la unidad métrica, esta se concreta como leyenda o en la escala gráfica)
2. Línea de cota. Tan larga como el segmento medido, paralela al mismo,  y sobre la que situar la cota. En el caso de circunferencias, la línea de cota abarcará el radio o el diámetro en posición inclinada respecto de los ejes ortogonales que determinan su centro.
3. Línea auxiliar de cota. Nace en los extremos de lo medido y suele ser perpendicular a ese segmento.

Normas generales que se deben seguir para acotar

La acotación es un complemento de las vistas (y menos frecuentemente, de la perspectiva) y se traza con línea fina (lápiz duro). En ocasiones puede ahorrarnos una vista, sobre todo cuando utilizamos símbolos de diámetro o de cuadrado.

• Siempre se pone la medida máxima del objeto en cada eje.
• Las acotaciones más pequeñas se distribuyen más próximas al dibujo. Evitando tropiezos de unas líneas con otras.
• Por la razón anterior: nunca se cortará una línea de cota, con ninguna otra línea: del dibujo, auxiliar de cota, arista, línea de cota.
• Las líneas de cota (salvo para arcos y circunferencias) se colocan horizontales y verticales.
• La cota, siempre se sitúa encima de la línea de cota.
• La lectura es: desde la parte inferior de la hoja para las cotas horizontales y desde la derecha para las verticales.
• Si hay circunferencias, se acotan además de su tamaño, la posición de su centro (pues tenemos que saber exactamente el punto dónde pinchar con el compás).
• Se dan todas las medidas necesarias, se evitan las innecesarias y nunca se repiten.

Además de lo anterior, hay que recordar que un buen dibujo es limpio, ordenado, tiene en cuenta la simetría, la equidistancia de distintos elementos, los grosores de línea y sus formas adecuadas. Es decir, que la estética y el buen gusto son imprescindibles. 

Convexidad de los ángulos

La convexidad es una característica que depende del punto de vista del observador. Estar "dentro o fuera " del objeto influirá en la consideración. La relevancia de un punto de vista, de una situación en concreto, es lo que decidirá si una forma es cóncava o convexa. Cuando las formas son cerradas y las analizamos en conjunto es bastante más fácil dirimir la cuestión de manera inequívoca. En el ejemplo, los ángulos que apuntan hacia el exterior de la figura son ángulos convexos (flechas verdes). Si el polígono fuese de lámina metálica, esos vértices nos pincharían al cogerlo. El ángulo cuyo vértice apunta al interior es cóncavo (flecha roja). Si lo cogemos, ese vértice no podría pincharnos.
Esto se invierte si nos imaginamos en el interior del polígono (habitación).

De un polígono decimos que es cóncavo cuando tiene al menos un ángulo cóncavo. Evidentemente, para afirmarlo, necesitamos conocer cuándo un ángulo es cóncavo o convexo. Los polígonos regulares también pueden ser cóncavos y entonces se les suele llamar estrellas poligonales regulares.

La convexidad en los ángulos está limitada por el ángulo de 180º (y del completo o de 360º). Si un ángulo es menor de 180º grados, se considera convexo y si es mayor, cóncavo. Cualquier par de semirrectas (lados de ángulo), determinan 2 ángulos, uno de ellos será convexo y el otro cóncavo. En cuanto al  llano o de 180º ni es cóncavo ni es convexo y, hablando de polígonos, no se pueden formar ángulos de 180º, serían un lado y no dos.
También hay que tener en cuenta que cuando se habla de la amplitud de un ángulo, formado por 2 rectas, nos referimos por regla general a la medida menor, excepto que se especifique lo contrario. Es decir, que en general se hablará del convexo.

En el ejemplo de Geogebra, partimos del ángulo llano con vértice V (centro del completo). Se pueden mover los puntos A y B para ver convexidades alternadas entre ángulos violeta y azul que evidentemente son conjugados (suman 360º).

Guada, 2020

Relaciones espaciales entre rectas

Las relaciones espaciales entre dos (o más) rectas son de 3 tipos: de coincidencia, de intersección o de cruce.

1.   En la coincidencia, las rectas se superponen, ocupan el mismo espacio.

Físicamente son la misma recta (una única posición de recta para la posición de 2 puntos), pero se pueden considerar “diferentes”. Dependerá de las condiciones de esa coincidencia.

1.1.     Por ejemplo recta intersección de dos planos, dado punto A del primer plano y A’ del 2º. Coincidiendo sobre la recta la posición de cada uno de los puntos de un plano con el otro, es decir A con A’, como punto doble.

1.2.     O bien los puntos no coinciden nominalmente por lo que no serían puntos dobles.

1.3.     E incluso se puede dar que realmente tengamos 2 rectas. Es habitual este caso en proyecciones diédricas (una horizontal y otra vertical) donde la coincidencia inicial de líneas se descubre inexistente al traducir a 3D.

2.   En la intersección, las rectas están en un mismo plano.

2.1.     Rectas secantes: hay un momento en que la separación entre las líneas es cero, este instante determina un punto común para ambas, por lo que pertenecerá a las dos rectas. Alejándonos de este punto la distancia entre las rectas aumentará paulatinamente. Se puede hablar del ángulo entre rectas que será siempre el más agudo de los formados.

2.2.     Rectas paralelas: es un caso especial de intersección, ya que las rectas son equidistantes. Y suponemos que también se cortarán ¿en qué momento? en el "infinito", en lo que llamamos punto impropio de la recta, que como son paralelas es el mismo y lo encontraríamos siguiendo su dirección, el punto impropio también lo es del plano que definen. Esta aparente contradicción es la base de la percepción en profundidad de la perspectiva cónica.

3.   El cruce es una opción posible solamente en espacio tridimensional.

Las rectas (que se pueden considerar pertenecientes a dos planos paralelos), en su mayor cercanía tienen una distancia mayor que cero. Esta longitud será mensurable en una perpendicular que corte a ambas (y que será perpendicular a los dos planos paralelos que las contienen).

RECTAS COINCIDENTES

 RECTAS INTERSECCIÓN

 RECTAS CRUZADAS: en planos paralelos

La recta

La recta es el tipo de línea más utilizado en Dibujo Técnico. Suele definirse como una sucesión de puntos que siguen una única dirección. Claro que para entender esto hay que saber qué es una dirección, la cual curiosamente debemos interpretar como rectilínea, es decir no hablamos de giro. Por eso, cuando damos una dirección, dibujamos un trozo de recta si es rectilínea y un arco de circunferencia si es de giro. Estos conceptos se unifican, pues una recta también puede definirse como una circunferencia de radio infinito o como línea de dirección 180º. Si vamos dibujando circunferencias concéntricas aumentando el radio, el trozo de arco inicial AB perderá curvatura, y llegará un momento en que dejará de ser curvo. Por eso podemos definir circunferencia como polígono regular que tiene n lados, sin olvidar que los lados son segmentos rectilíneos. Es fácil entender porqué la Tierra se consideraba plana durante tanto tiempo incluso después de que científicos dijeran lo contrario, pues las dimensiones tienen mucho que ver con el punto de vista del espectador además de la distancia y el tamaño de lo mensurable. Si invertimos la operación, circunferencias disminuyendo el radio, llegará un momento en que podemos considerar el Radio igual a cero, y entonces llegamos al punto, es decir, la circunferencia puntual.

Para tener un concepto lo más visual posible, conviene que tengamos en la mente todo lo anterior. Pues así comprenderemos mejor que la recta se extiende hasta el infinito, y que tiene un punto impropio (es decir, en esa zona espacial especial) donde se encuentra consigo misma, por eso para alcanzar ese punto podemos ir siguiendo un sentido o el otro, sobre la recta. Esta idea, suele ser bastante útil cuando tenemos que entender ciertos problemas por ejemplo de homología. El concepto de la recta en Dibujo Técnico es bastante abstracto: de grosor el punto, de prolongación infinita. Pero, al igual que con el punto, debemos dar una presentación de ella adecuada para reconocerla, junto con su huella gráfica o expresividad artística normalizada.

1. Determinar su posición. Necesitamos siempre dos datos, de dos posibles maneras:
a) Posición de 2 puntos de ella cualesquiera -no pueden coincidir en posición pues entonces serían el mismo punto-. Gráficamente conviene estén separados para mejorar la precisión de la determinación.
b) Posición de 1 punto de ella y la dirección en que se suceden todos los demás puntos. Debemos conocer la posición 0º de la que partimos (radio horizontal derecho, en la circunferencia, y sentido contrario a las agujas del reloj o bien inclinación respecto de otra recta conocida)

Definir recta 2. Trazado (hay pequeñas variaciones según qué normas se elijan). El trazado, generalmente de color negro, dependerá de lo que represente la línea pudiendo tener un grosor y forma diferente (válido también para curvilíneas): a) Grosores, básicamente 3: Fino para líneas de construcción, medio para datos y grueso para solución. b) Formas, básicamente 3: Continua para contornos de figuras y líneas de construcción. A trazos o discontinua, para aristas ocultas y para cierto tipo de líneas. De eje, alternando trazo punto trazo, para ejes de simetría, de rotación. c) Formas especiales: Línea de dirección (con una punta de flecha). Línea de cota (con extremos en punta de flecha u otras huellas). Línea de corte. 3. Nomenclatura. Letras minúsculas para recta y trozos de recta (como lados de polígonos). Excepción en ciertas líneas: el radio en ocasiones se escribe con letra mayúscula R (evita confundir con el nombre habitual de recta que es r), línea de centros LC, línea de horizonte LH, línea de tierra LT, recta límite RL. En la nomenclatura se pueden añadir subíndices numéricos y superíndices de comillas. Muy habitual en diédrico y en homología. Ejemplos de nomenclatura

Ver Recta, en diédrico