Triángulo equilátero en plano oblicuo dada altura

Se pide situar el triángulo equilátero en un plano oblicuo, aplicando afinidad. Datos conocidos:

Traza horizontal del plano

Proyección horizontal de la altura, y vertical del pie de la altura.

Simetría

La simetría es una relación entre 2 o más formas en las que el tamaño es el mismo y la configuración aparentemente es la misma, pero está invertida punto por punto, al compararlas entre sí. Hay 2 tipos de simetría básicos:

1. Simetría bilateral o de eje.
2. Simetría radial o central.

En la Naturaleza abunda la simetría. Nosotros tenemos simetría bilateral vistos de frente, en vista posterior, en planta (superior e inferior). Y muchos animales y plantas comparten esta característica.

En cuanto a la simetría central, la vemos más en las plantas, sobre todo en sus flores. Aunque algunos animales también la poseen, como las estrellas y los erizos de mar.

Ambas simetrías se pueden estudiar en Dibujo Técnico como homologías especiales.

En la simetría de eje, tendríamos el eje de afinidad con una dirección ortogonal y el valor k= -1. El signo negativo hace referencia a que se sitúa al otro lado del eje, cada punto de la figura. La proporción de la unidad es la escala natural (E= 1:1 = coeficiente 1 Es decir igual tamaño que el original e igual distancia). Y la dirección ortogonal es la de perpendicularidad con respeto del eje, pues hace el efecto de espejo. Por eso al trazar la simetría, dibujaremos rectas perpendiculares al eje que pasen por cada punto de la figura. Para la equidistancia usaremos el compás, con centro en la intersección de cada perpendicular con el eje y radio la distancia hasta el punto del que hallaremos su simétrico. Finalmente uniremos los puntos para dibujar la figura con todos sus lados.

En la simetría radial o central, estaríamos en una homotecia donde el valor también sería k= -1. De nuevo el valor negativo indica al otro lado, en este caso del centro de homotecia. Y la proporción de la unidad también se refiere a la escala natural (equidistancia). Aquí las direcciones de los pares de puntos simétricos son divergentes desde el centro de homotecia que es el centro de la radiación.

El aspecto de cada dibujo difiere ligeramente según se trabaje una simetría u otra. El efecto de inversión es solamente lateral en la simetría de eje. Y el efecto de inversión es lateral y de arriba abajo en la simetría central.

Al trazar la simetría, 1º dibujaremos las rectas que pasen por el centro de simetría (V en el dibujo) desde cada uno de los vértices de la figura dada. Con el compás haremos centro siempre en el centro de simetría V y los radios serán la distancia a cada punto del que queramos obtener su simétrico. Tras hallar todos los puntos, se unen para hallar la figura resultante.

Trazado de simetría artística
Una técnica sencilla para dibujar figuras simétricas es utilizando dobleces en papel. Con un solo doblez se consigue 1 eje de simetría.
En el caso de simetría central. Necesitaríamos varios dobleces de papel, dejando el centro de simetría en el centro de la hoja.
Otra técnica es calcar la figura después de darle vuelta al papel (este es el mismo efecto que el selfie).

Es adecuada para figuras más complejas que los polígonos. Por ejemplo hoja de un árbol, alas de una mariposa.

Si quisiéramos hacerlo con instrumental de precisión, tendríamos que trabajar muchos puntos para tener una idea de por dónde iría su trazado.
Y lo más sencillo de todo: utilizar un programa de ordenador que permita hacer simetría.

Guada, 2020

Afinidad

La afinidad es un caso especial de homología donde el centro de "homología" es impropio. Esto tiene dos consecuencias inmediatas:

1ª  La radiación es una dirección, es decir, las sucesivas rectas que alinean los pares de puntos afines -antes homólogos- al converger en el infinito se convierten en paralelas.

2ª No existen rectas límite.

Esta simplificación, no elimina las relaciones homológicas (ahora afines) entre los puntos, las rectas, las figuras afines. El eje de afinidad sigue siendo el lugar geométrico donde se sitúan los puntos dobles. Y el centro de afinidad, aunque impropio, donde "se cortan" las rectas que alinean los pares de puntos afines.

Aplicación de la afinidad

Hay un caso especial de afinidad, cuando la dirección d es perpendicular al eje, llamado afinidad ortogonal que se puede aplicar en el abatimiento sobre plano de proyección, del sistema diédrico.

La 1ª figura sería la proyección sobre el plano (Planta, si es sobre el horizontal. Alzado, si es sobre el vertical). La 2ª figura sería la figura abatida sobre el plano. El eje de afinidad, la charnela (intersección entre el plano de proyección y el plano que contiene a la figura en el espacio). La dirección, perpendicular al eje o charnela. Puedes ver ejemplo aquí: Polígono sobre plano, en diédrico

Polígono sobre plano, en diédrico

Situar un polígono en cualquier tipo de plano, en el sistema diédrico, puede ser sencillo dependiendo de la posición del plano considerado. Si lo vamos a situar en un plano de proyección o en alguno paralelo al mismo, el problema se reduce a dibujar el polígono de forma directa, pues se verá con su verdadera forma y magnitud. Si por el contrario estamos ante un plano oblicuo, simplificamos el problema abatiéndolo sobre uno de los planos de proyección. Esto no quiere decir que no sea una tarea laboriosa, pues a mayor cantidad de vértices, más trazados. De nuevo se puede simplificar el problema, buscando paralelismo de lados a la traza charnela, o mejor aún, haciendo coincidir con ella un lado.

En el ejemplo ponemos un pentágono regular, pues suele ser el polígono preferido de los profesores.

PASOS

1º Suponemos el polígono en un plano de proyección (en el caso dado, en el horizontal), donde se dibuja en verdadera forma y magnitud (consideramos que está abatida sobre el plano horizontal de proyección).

2º Se abate la traza vertical del plano. Para ello se elige un punto M de ella (las rectas horizontales son las más prácticas para abatir sobre el plano horizontal de proyección y para desabatir).

3º Se comienza el desabatimiento de cada vértice de la figura, pasado rectas horizontales que luego se desabaten.

4º Una vez halladas las proyecciones horizontal y vertical de cada uno de los puntos vértice (en su correspondiente recta desabatida), se dibujan las formas poligonales de cada proyección (vistas en planta y alzado).

NOTA: Puedes variar la forma y posición del pentágono OBSERVACIÓN: La figura en el plano horizontal de proyección, en supuesto abatimiento, es afín de la proyección horizontal de dicha figura, en una afinidad ortogonal. La traza charnela es el eje de afinidad, por eso al prolongar los lados afines se cortan en ella (puntos dobles). La dirección es de perpendicularidad pues es el ángulo que tenemos al girar sobre la charnela, tanto para abatir como para desabatir.

En el caso de abatimiento sobre plano vertical, entonces la afinidad ortogonal se forma entre el polígono abatido con la proyección vertical del mismo.