Homología

La homología es una relación bidimensional entre dos planos distintos. Se crea una correspondencia de puntos entre la 1ª figura (de un plano) y la 2ª (del otro plano), y no sólo de sus vértices, pues también se trata de una correspondencia entre rectas y por tanto de cada punto.

Dos puntos que se corresponden son homólogos, dos rectas que se corresponden son homólogas, dos figuras cualesquiera que se corresponden son homólogas.

Los elementos de la homología son los siguientes:

Centro de homología, es un punto que se alinea con cada par de puntos homólogos. Estas líneas se llaman radiación y por ello al centro también se le denomina Vértice de la radiación (se dibujan a trazos). El centro de homología es un punto doble, es decir si un punto está en esta posición, su homólogo también.

Eje de homología, es una recta (intersección entre los planos que contienen a las figuras) en la que se cortan los pares de rectas homólogas, por ello, cualquier punto del eje es doble por pertenecer a los dos planos, dado que es su intersección.

Rectas límite. Son las rectas donde se sitúan los puntos de un plano, homólogos de los impropios del otro plano. Se sitúan paralelas al eje y la distancia de una (RL) al vértice es = a la de la otra (RL') al eje. Pueden estar ambas entre el centro de homología y el eje, o ambas en el espacio exterior del centro-eje de homología.

Para hallar las rectas límite podemos partir del centro y eje de homología y un par de rectas homólogas a-a'. Las paralelas a estas, por V, cortando a las dadas darán puntos de las rectas límite, teniendo en cuenta el paralelismo con el eje, ya se pueden dibujar.

En homología es muy práctico utilizar las rectas límite para averiguar las rectas homólogas de las dadas, pues todas las que convergen en un punto de la recta límite de un plano serán paralelas en el segundo plano.

Una aplicación muy interesante de las rectas límite, combinadas con el arco capaz, es la posibilidad de determinar una dirección-forma concreta de la figura homóloga, pues la ubicación del Vértice se podrá controlar.

Una aplicación habitual de la homología es la perspectiva cónica relacionando vista diédrica en un plano y perspectiva cónica en el otro.

Centro Radical

El Centro Radical es un punto equipotencial para 2 o más circunferencias. Cualquier punto de un eje radical será centro radical de todas las circunferencias pertenecientes al haz coaxial. Si tenemos 3 circunferencias, cuyos centros no están alineados, determinarán un único punto equipotencial para las tres. Si las circunferencias están alineadas y no pertenecen a un mismo haz coaxial, el Centro Radical es impropio y de dirección perpendicular a la línea de centros.

Para hallar el centro radical de 3 circunferencias se necesita determinar la intersección de los ejes radicales respectivos a cada par de circunferencias. Si son secantes y tangentes se resuelve directamente, si son exteriores se utiliza una circunferencia auxiliar secante a las que sean exteriores. Si el centro radical resulta ser exterior, la circunferencia equipotencial para las tres se calcula con la tangente a una de ellas. Si es interior, hay que hallar la altura del triángulo rectángulo donde la hipotenusa es el diámetro por Cr. (puedes consultar más aquí)

La resolución de muchos problemas de tangencia, desde el punto de vista de potencia, es posible gracias al concepto de centro radical y circunferencia equipotencial, en casos de rectas y circunferencias tangentes entre sí o bien de tangencia entre circunferencias.

Eje Radical exterior

El Eje Radical de circunferencias exteriores se halla utilizando una circunferencia auxiliar que corte a las dadas. La intersección de la auxiliar con cada una de ellas determinará un eje (e1 y e2), al cortarse estos se descubre un punto equipotencial CR para las dos circunferencias dadas. Aplicando la propiedad del eje radial perpendicular a la línea de centros, se traza la recta pasando por el punto hallado.

NOTA: Con los puntos A puedes variar el Radio y con los Q la posición del centro y el Radio.

HACES COAXIALES

Para dibujar más circunferencias exteriores, que tengan el mismo eje radical, se utiliza la circunferencia equipotencial y se aplica la propiedad de ortogonalidad de todas las circunferencias con ella, teniendo en cuenta que el centro de todas las que se quieran trazar debe estar en la misma línea de centros.

Eje Radical secante

El Eje Radical es una recta dibujada por los distintos puntos del plano, que contiene a dos circunferencias, donde la potencia es igual para ambas. Por supuesto, el valor de la potencia es variable para cada punto de la recta eje, pero siempre será idéntico para las dos. Este concepto se puede ampliar si se trabaja con más circunferencias, pues en realidad, habrá infinitas circunferencias que tengan el mismo valor potencial, para cada punto del eje. En este caso hablamos de un haz coaxial de circunferencias.

Las propiedades que relacionan las circunferencias y la recta eje radical son útiles para resolver problemas de dibujo técnico, principalmente de tangencias.

El eje radical de una circunferencia es sencillo de calcular cuando las dos circunferencias son secantes, pues ya disponemos de dos puntos equipotenciales, los de intersección. (Recordemos, el valor de potencia de un punto situado en la circunferencia es 0). Por tanto, el eje pasará por estos dos puntos.

NOTA: puedes variar Radio y posición de Q2 (moviendo A y Q2), así como variar posición de P.

En cuanto trazamos el eje radical de dos circunferencias secantes observamos la propiedad: eje perpendicular a la línea de centros. Esto nos permite resolver el eje radical entre circunferencias tangentes, pues por T pasa el eje perpendicular a LC. Para el caso eje radical entre circunferencias exteriores, como sólo conocemos la dirección del eje, no podemos dibujarlo directamente, pero sí utilizando una circunferencia auxiliar que sea secante a ambas, con cada una dará un eje y la intersección de ambos será punto equipotencial de las exteriores.

Otra relación geométrica que se obtiene entre las circunferencias, gracias a la potencia, es la circunferencia equipotencial. Cualquier punto exterior a ambas que esté en el eje radical será centro de una circunferencia de Re= segmento tangente a cualquiera de la circunferencia (el cuadrado de este Re es el valor potencial, para punto exterior). En este caso, la circunferencia equipotencial se dice que es ortogonal a las dadas porque el ángulo entre su radio y las dadas es de 90º.

Además, los segmentos tangentes comunes a ambas circunferencias dadas (Q1 y Q2) serán cortados por el eje radical, en el punto medio.

HACES COAXIALES

Si se desea trazar más circunferencias que tengan el mismo eje radical de las dadas secantes, su centro estará en la misma línea de centros y su radio permitirá que pase por los puntos secantes del eje. Si el eje radical es de circunferencias tangentes, las circunferencias tendrán su centro en la línea de centros y el radio permitirá que pase por el punto de tangencia.