Elipse homóloga de la circunferencia

Para que una circunferencia tenga por homóloga una elipse, la circunferencia debe ser exterior a la RL. La circunferencia y la elipse se relacionan al igual que el cuadrilátero y el rectángulo. Si tenemos intención de que los ejes de la elipse sean perpendiculares entre sí, esta condición deberá tenerse en cuenta para situar el Centro de homología. Por lo mismo, si una circunferencia se inscribe en un cuadrado o en un cuadrilátero, en este caso, la elipse quedará inscrita en el rectángulo homólogo del anterior. La circunferencia y la recta límite se relacionan por polaridad, siendo el homólogo del polo en la circunferencia, el punto medio de los ejes de la elipse.

Relaciones a tener en cuenta

1º La circunferencia se puede inscribir en un cuadrilátero de cuyo homólogo se obtendrá un rectángulo, en el que se podrá inscribir la elipse homóloga de la circunferencia.

2º Para dibujar el cuadrilátero: se trazarán desde un punto de la RL tangentes a la circunferencia. Sus puntos de tangencia T1 y T2 limitan el diámetro, que será de la elipse en la homóloga. Al prolongarlo cortará a la RL, a partir de este punto de intersección se trazan el otro par de tangentes a la circunferencia, los puntos de tangencia T3 y T4 determinarán el otro diámetro -al cortarse ambos diámetros el punto M, cuyo homólogo será el centro geométrico de la elipse-. Las intersecciones entre las tangentes determinan lados y vértices del cuadrilátero circunscrito a la circunferencia.

3º Para condicionar un rectángulo homólogo del cuadrilátero, se trazará el arco capaz de 90º entre los puntos intersección en la RL. Al situar el Centro de homología Ch en este arco, las rectas homólogas sean perpendiculares. Y las convergentes en RL, serán paralelas.

4º Se trazarán las rectas homólogas con las direcciones desde Ch, de las tangentes y las rectas diámetro para obtener el rectángulo y los diámetros de la elipse.

5º Se construye la elipse siguiendo algún método de construcción, en el ejemplo se ha aplicado el método Xdiámetros.

ELIPSE: método por diámetros

También llamado método por afinidad -aplicando la relación de afinidad entre circunferencia y elipse-. Para utilizar este método tan solo se precisan las dimensiones de sus diámetros -los focos si se necesitaran se podrían hallar por separado-.

1º Se dibujan las circunferencias concéntricas en M (punto medio de los diámetros) y con radio las medidas a, b.

2º Se dividen las circunferencias con rectas diámetro (pasan por el centro). Aunque cualesquiera son válidas se procurar buscar la simetría trazando bisectrices de los ángulos centrales. La simetría facilita la compresión y el trazado.

3º Tomando cada semirrecta desde el centro y sus intersecciones con las circunferencias se trazan paralelas a los ejes. Por la circunferencia pequeña al AB y por la mayor al CD. La intersección de estas dos paralelas determina punto de la curva elipse.

4º Se repite el proceso con las otras semirrectas, además se puede aprovechar la doble simetría tanto de las rectas paralelas como de los puntos obtenidos de la curva

Rectas tangentes a elipse, desde P

Se necesitan los focos y la medida 2a.

1º Se trazan 2 circunferencias que al cortarse dan los puntos M y N. La una con centro en P y radio hasta el Foco. La otra con centro en el otro foco y R= 2a.

2º Con M se obtiene una tangente y su punto de tangencia. La tangente será la mediatriz del segmento desde M a un foco y el punto de tangencia la intersección de esa mediatriz con la recta desde M al otro foco.

3º Con N se obtiene otra tangente y su punto de tangencia. Tangente = mediatriz. Punto T intersección mediatriz y recta desde N al otro foco.

NOTA: Para no confundir qué foco dará la mediatriz tangente... comprueba que pasa por P.

En el caso de que P sea punto impropio, la resolución es similar. Únicamente tener en cuenta que el centro de la primera circunferencia es también punto impropio, es decir, la circunferencia se convierte en una recta (recta= circunferencia de radio infinito). Por lo tanto, se trazará una recta que pase por el foco (en sustitución de esa primera circunferencia) y su dirección deberá ser perpendicular a la dirección de P impropio. El resto de la resolución es exactamente igual.

Mueve el vector dirección y comprueba cómo las tangentes siguen su dirección.

Recta tangente a Elipse, conocido T

Para resolver cualquier problema de tangencias a las curvas cónicas, necesitamos los focos. Por lo que el primer paso siempre será obtenerlos.

En el caso de conocer el punto de tangencia en la elipse, el ángulo que determina con los focos nos ayuda a obtener la tangente. No es necesario, por tanto, trazar la elipse para resolver.

1º Dibujar ángulo F1TF2

2º Bisectriz del ángulo.

3º La perpendicular a la bisectriz, en T, es la tangente buscada.

Puedes mover la posición de T para observar la tangencia en todo su recorrido.

ELIPSE: construcción Xpuntos

Este método se basa directamente en la propiedad con la que todo punto de la curva se relaciona con los focos y la distancia 2a.
Dados los ejes AB y CD.

1 Estos ejes se sitúan en ángulo de 90º siendo el vértice el punto M medio de ambos.

2 Se hallan los focos, aplicando la propiedad y la simetría de CD. Es decir, se toma la distancia a para dibujar la circunferencia de centro C, para cortar al eje AB, al ser secantes se determinan la posición de los focos.

3 Sucesivas circunferencias secantes entre sí darán puntos de la curva: sus centros siempre serán los focos y las sumas de los radios en los puntos secantes darán la distancia AB, es decir 2a. 3.1. Se sitúan puntos en el semieje AM. Por ejemplo 1. 3.2. Se mide A1 y se dibuja circunferencia con centro en un foco. 3.3. Se mide 1B y se dibuja circunferencia con centro en el otro foco. 3.4. Al secarse ambas sus puntos intersección son puntos P de la curva. 3.5. Se repite operación simétricamente respecto eje CD.

Para hallar más puntos de la curva, se trabajará siguiendo el mismo proceso añadiendo puntos en el semieje AM: 2, 3, 4...

Elipse: propiedad de sus puntos

La elipse es una curva cónica cerrada que tiene doble simetría: eje AB y eje CD.

Todos los puntos del plano que pertenecen a la curva mantienen una medida constante con respecto a dos puntos fijos llamados focos: F1 y F2 (siempre situados en el eje AB). Por lo que si movemos P por la curva comprobaremos que la suma de distancias a los focos es la distancia AB, más conocida como 2a. Debido a la simetría, cuando el punto P de la curva está en C o en D las distancias a los focos se igualan.

Los ejes de la elipse pueden estar en disposición angular distinta de 90º, entonces decimos que sus diámetros están conjugados.

La circunferencia se puede considerar un caso especial de elipse, pues cuanto más se juntan los focos, más redonda es su forma llegando al caso extremo en que ambos focos se sitúen en M, haciendo un punto doble focal, entonces los dos ejes AB y CD se igualan convirtiéndose en el diámetro de la circunferencia.

En ese momento, a=Radio y entonces 2a = 2R = diámetro de circunferencia.

La relación entre circunferencia y elipse es inevitable en dibujo técnico pues cuando una circunferencia se dispone en posición oblicua respecto del espectador la apariencia es elíptica. Esta distorsión se tiene en cuenta en todas las perspectivas. Si bien hay ligeras variaciones, por ejemplo en la isométrica se tiende a simplificar la elipse con el óvalo isométrico y en la perspectiva cónica la elipse sufre además la distorsión de la fuga o fugas implicadas.

En el trazado perspectivo se suele simplificar la construcción con el método de los 8 puntos, inscribiendo la circunferencia en un cuadrado (4 puntos de tangencia) y cortándola con las diagonales (4 puntos de intersección) y así dar perspectiva al cuadrado para después inscribir en él la elipse.