Hipérbola como homóloga de la circunferencia

La homóloga de la circunferencia determina una curva cónica. Para que ésta sea una hipérbola, la circunferencia dada estará cortada por la RL. Los puntos de intersección tendrán sus homólogos como impropios y corresponderían a la "intersección" de las asíntotas con las ramas de la hipérbola. Es decir, la figura homóloga de la circunferencia estará formada por dos trozos o ramas.

Para resolver debemos también tener en cuenta la relación de polaridad entre la circunferencia dada y la recta límite RL.

1º Circunferencia secante a RL que será recta polar. Puntos intersección T1 y T2

2º Tangentes a la circunferencia por T1 y T2 para en su intersección determinar el Polo o punto M. En M' se cortarán las asíntotas de la hipérbola que son las homólogas de esas tangentes.

3º La bisectriz del ángulo asíntotas es el eje de la hipérbola. Para tener claro cuál de las dos bisectrices es la válida, podemos utilizar otro punto C de la curva. Su homólogo nos ilustra el espacio que ocupará la curva entre las asíntotas.

4º Vértices o puntos de inflexión A' y B' de las ramas de la hipérbola. Invirtiendo la homología a partir del eje de la hipérbola (bisectriz anterior), determinamos la intersección en la circunferencia en A y B. Hallamos los homólogos de estos y obtenemos los vértices A' y B'.

5º Focos F1 y F2. Necesitamos circunferencia de centro M' y radio concreto. Para hallar este, trazamos por B' la perpendicular p que corte a asíntota en P. Dibujamos la circunferencia: centro M' y R= M'P. La intersección entre la circunferencia y el eje determina los focos.

6º Dibujamos la curva hipérbola, siguiendo un método de trazado (por ejemplo, por puntos).

Rectas tangentes a Hipérbola, desde P

Se necesitan los focos y la medida 2a.

1º Se dibujan dos circunferencias. Una de centro P y Radio hasta el foco más cercano, la otra de centro el otro foco y R=2a. Si se cortan, tenemos solución. La intersección son los puntos M y N.

2º La mediatriz del segmento MF es una de las tangentes, la intersección de esta con la recta que pasa por M y el otro foco nos sitúa el punto de Tangencia.

3º Se procede de igual manera con el punto N.

NOTA: Puedes mover P para observar las posibilidades tangenciales.

En el caso de que P sea punto impropio, la circunferencia de centro P pasa a ser una recta (recta= circunferencia de R infinito), la dirección de esa recta será perpendicular a la del punto P impropio. Por lo tanto, de P debemos conocer la dirección. La resolución es similar, lo único que varía es que la circunferencia de centro P que pasa por el foco es ahora una recta que pasa por el foco y de dirección perpendicular a la de P impropio.

Recta tangente a Hipérbola, conocido T

Para resolver el problema necesitamos los focos.

La bisectriz del ángulo, determinado por los focos y el punto T como vértice, es la tangente buscada.

Mueve T para ver el recorrido de la tangente en cada rama (se ha propuesto el simétrico T` para que se observe en ambas).

Hipérbola, construcción Xpuntos

Los elementos de la hipérbola se asemejan a los de la elipse, si bien la forma es totalmente diferente y por supuesto hay otros aspectos a tener en cuenta.

Tiene dos focos, dos ejes de simetría y dos medidas a y b que se relacionan con los focos.

Sin embargo, a partir de aquí se destacan las diferencias:

1ª La curva es abierta y de dos ramas.

2ª Tiene 2 rectas, asíntotas, que representan las tangentes a la curva, en los puntos impropios.

3ª La propiedad, en vez de suma (como en la elipse) es la diferencia de distancias desde un punto P de la curva a los focos F1 y F2 que es igual a la distancia entre sus vértices o eje real AB (es decir, 2a).

4ª La distancia 2b es la distancia entre los puntos de las asíntotas, intersección de una perpendicular al eje que pasa por el punto de inflexión. La forma de la hipérbola depende de la relación entre a y b, si son iguales se dice que la curva es hipérbola equilátera; si b es menor la curva es más cerrada o aguda y si b es mayor que a la curva se abre.

La construcción por puntos aplica la propiedad. Suponiendo como datos el eje real y b.

1º Poner 2a=AB, el punto medio M = intersección de asíntotas y centro de simetría.

2º Perpendicular en B y medida b, punto P en asíntota.

3º Circunferencia, centro en punto medio y Radio hasta P, sitúa los focos en el eje de la hipérbola.

4º Pasos idénticos a construcción de elipse. Se sitúan puntos sobre el eje 1, 2, 3, 4...

5º Se miden con el compás radios desde los puntos a A y B

6º Se dibujan circunferencias con centro en los focos y sus intersecciones serán puntos de la curva:

R=B1 intersección con R=A1

R=B2 intersección con R=A2, etc.

7º Se traza la línea por los puntos hallados, con plantillas de curvas.