Triángulo equilátero y circunferencias concéntricas

Dadas tres circunferencias concéntricas, hallar triángulo equilátero cuyos vértices se sitúan cada uno en una circunferencia concéntrica distinta.

El problema se puede resolver desde el punto de vista de la homología especial aplicando una transformación geométrica de giro. El giro es una operación que permite el traslado angular de una figura desde un centro. En el caso del triángulo equilátero, podemos considerar cada uno de sus vértices como el girado 60º desde la posición de otro y con centro de giro en el 3º.

Equilátero giro 60º Los pasos para resolver el problema permiten relacionar las 3 circunferencias concéntricas y el triángulo equilátero mediante un giro de 60º, teniendo como centro de giro un punto en la 2ª circunferencia y como radio de giro el radio de ella.

1º         Elegimos un punto B en la 2ª circunferencia (este es uno de los vértices del triángulo equilátero.

2º       Circunferencia de centro B y radio BQ₂ (división en 6 partes iguales de la circunferencia). La intersección ofrece 2 posibilidades, giro levógiro o dextrógiro, elegimos una intersección para Q’₁ como nueva posición del centro de la 1ª circunferencia.

3º        Circunferencia de centro Q’₁ y radio R₁ (hemos girado la 1ª circunferencia 60º, con centro B). Esto nos da intersecciones con la 3ª circunferencia. Cada intersección una posible solución para la longitud del lado del equilátero.

Equilátero en concéntricas

Equicomposición: "Cuadrado" equivalente de triángulo equilátero

En otro momento se ha explicado cómo obtener un cuadrado de cualquier forma poligonal. Ahora vamos a analizar un paso más directo, y sin transformaciones. Vamos a fragmentar una figura para con los trozos construir otra (pudiendo volver a la primera).

Una de las aplicaciones más interesantes que tienen las formas equivalentes son el diseño de puzzles por equicomposición. Las piezas, si se combinan de distintas formas darán como resultados distintas figuras. Esta es la base del famoso puzzle tamgram que también tiene versiones en 3D.

La aplicación al diseño modular es obvia y tiene un aspecto lúdico muy atractivo que abarca la juguetería y el diseño de mobiliario.

Siguiendo el método sencillo de H. E. Dudeney podemos pasar directamente de un triángulo equilátero a un "cuadrado" (las comillas son porque en realidad resultará un rectángulo de lados muy parecidos).

1º Dividimos en 4 partes iguales un lado, y de momento seleccionamos C1 y C2

2º Dividimos con la mediatriz los otros dos lados, tenemos los puntos medios A1 y B1

3º Segmento C1A1

4º Perpendiculares a segmento C1A1 desde B1 y C2.

5º Piezas poligonales: 1 triángulo rectángulo (casi isósceles) y 3 cuadriláteras (2 muy parecidas) cada una con un ángulo de 60º (las 3 esquinas del triángulo equilátero.

6º Se recolocan las piezas: tomando como vértice (para la suma de los 3 ángulos de 60º) la 2ª división del lado inicial del triángulo (ahora punto de la hipotenusa de la pieza pequeña)

NOTA: una vez colocadas todas las piezas se pueden apreciar las ligeras diferencias habidas con el cuadrado.

Polígono regular de n lados: construcción

Cualquier polígono regular es inscriptible en una circunferencia y esta se puede dividir en partes iguales, tantas como vértices el polígono, por eso el método general siempre relaciona circunferencia y vértices o Radio y lado.
Si necesitamos construir un polígono regular de cierto nº de lados resolvemos como en el problema división de circunferencia en partes iguales. En una circunferencia cualquiera se hallan los vértices del polígono inscrito.

 

Pero si además necesitamos concretar una medida de lado, entonces a esa parte añadiremos lo siguiente.

Se medirá sobre una recta lado (en el ejemplo: AB) y se trazará paralela a Radio por vértice del extremo izquierdo, al cortar el Radio por el extremo derecho (o su prolongación) obtenemos la medida de radio de circunferencia que tendrá inscrito el polígono deseado, con la longitud de lado deseada. Los polígonos dado y solución son homotéticos (lados paralelos y proporcionales, vértices alineados con Centro de homotecia), al igual que las circunferencias que los circunscriben, y el centro de homotecia es el centro de las circunferencias.
Otro método de construcción: a partir de la medida del lado se averigua la medida del radio.

Circunferencia: división en partes iguales

Dividir una circunferencia en partes iguales se puede analizar de forma particular para cada caso o con un método general para n divisiones. Este problema está directamente relacionado con inscribir un polígono regular en ella al tratarse de distancias iguales, entonces, cada punto señalado sería un vértice del polígono.
Ejemplos de casos particulares
La división más sencilla, es la que produce un diámetro, pues al trazarlo tendremos la semicircunferencia. Con dos diámetros perpendiculares tendremos 4 partes iguales. Con el radio, siempre podremos dividir en 6 partes equidistantes pues será justamente el radio = al lado del hexágono regular inscrito. Esto también permite dividir en 3 partes iguales la circunferencia.

Si deseamos seguir un método general (que hay varios), para dividir en cualquier cantidad de partes iguales la circunferencia, podemos utilizar el siguiente.
Método general con punto exterior

1º Hallamos un punto P exterior (si se desea, también el simétrico, pues un P resuelve la mitad de la circunferencia).

2º División del diámetro de la circunferencia en tantas partes como queramos hacer en la circunferencia, aplicando el teorema de Tales. Solamente necesitamos los puntos pares del diámetro (o los impares, pero no todos), por eso podemos ahorrar líneas trazando únicamente las paralelas necesarias.

3º Se trazan rectas desde P por los puntos pares del diámetro. Las intersecciones con la circunferencia (al otro lado del diámetro) nos dan divisiones en la misma. Para hallar lo correspondiente en la otra semicircunferencia se aplica simetría (central o bilateral).

NOTA: Se puede inscribir polígono regular con nº de vértices = nº de divisiones en la circunferencia.

CUADRADO: Propiedad diagonal + lado

Se trata de la propiedad que tiene todo triángulo por serlo (ver propiedad de triángulos) y para aplicarla seleccionamos un triángulo en el cuadrado. El formado por dos lados y una diagonal, que es un triángulo bastante especial al tener un ángulo de 90º por ser esquina de cuadrado y 2 de 45º por ser rectángulo isósceles (la escuadra). Ahora, si sumamos la diagonal al lado podemos dibujar el triángulo isósceles adyacente y que tendrá como valor de sus ángulos iguales la mitad de 45º

 

Esta propiedad del cuadrado se aplica cuando se da como dato la suma de lado y diagonal.

CUADRADO: Propiedad diagonal - lado

Si se dibuja el triángulo rectángulo adyacente a un cuadrado, en el que un cateto es el lado del cuadrado y el otro la diferencia entre diagonal y lado, observamos la siguiente relación angular de la hipotenusa en sus extremos, un ángulo vale la mitad de 45º y el otro la mitad de 135º (180-45º).

Esta propiedad se aplica en la construcción de cuadrados para los que se facilita como dato la diferencia entre diagonal y lado.

HEPTÁGONO REGULAR

Construcción de heptágono regular mediante método particular.

Trazando la mediatriz del Radio, la distancia entre intersecciones de la mediatriz con el Radio y la circunferencia es 1/7 de la circunferencia.

PENTÁGONO REGULAR INSCRITO

A partir del pentágono, bisecando los ángulos centrales o los lados se puede dividir la circunferencia en 10 partes iguales y dibujar el decágono regular.

PENTÁGONO REGULAR

Construcción a partir del lado AB

PROPIEDADES

Para la construcción se aplica la proporción áurea

entre lado y diagonal del pentágono regular.

CUADRADO

Construcción conocido el lado AB

Conocida la circunferencia de R= QA

Se aplica la perpendicularidad entre sus lados y entre sus diagonales para ambas construcciones.

Sus diagonales son iguales a dos diámetros perpendiculares, en la circunferencia que lo circunscribe.

A partir de las 4 divisiones iguales, en la circunferencia, se puede trazar el octógono regular, mediante mediatriz de sus divisiones (o bisectriz del ángulo central de las divisiones). Sucesivamente se podrían obtener otros polígonos regulares, al doblar las divisiones equidistantes.

HEXÁGONO REGULAR

Dado el lado del hexágono regular o el radio de la circunferencia que le circunscribe.

PROPIEDADES

El lado del hexágono regular es igual al Radio de la circunferencia que lo circunscribe.

Una de los 2 tipos de diagonales que tiene es igual al diámetro de la circunferencia que lo circunscribe.

Si se toman de dos en dos las divisiones (paso 2), se puede inscribir un triángulo equilátero.

Si se biseca cada cuerda de las divisiones, se puede inscribir el dodecágono regular.

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

Dado que triángulo equilátero tiene los 3 lados iguales se puede construir haciendo arcos de radio igual al lado.

El punto C es vértice y centro de la circunferencia de Radio = lado. La circunferencia se divide en 6 partes iguales con el Radio, por ello se puede inscribir el hexágono regular de lado = Radio e igual al lado del triángulo con vértice en el centro. También se puede inscribir en la circunferencia un triángulo equilátero, a partir de las divisiones calculadas, haciendo paso 2.