ARCO CAPAZ

CONSTRUCCIÓN DE ARCO CAPAZ

El arco capaz relaciona un ángulo con un arco de circunferencia.

Para su construcción se necesitan dos datos:

un ángulo y un segmento que será la cuerda del arco.El arco capaz es aplicable en la solución de muchos problemas geométricos, principalmente homología y perspectiva.

PROPIEDADES DEL ARCO CAPAZ

El ángulo dado es el semiinscrito en el arco capaz con vértice en el extremo de la cuerda que determina el arco y que define uno de los lados del ángulo. El otro lado, es tangente al arco, siendo el vértice el punto de tangencia. Por esta razón, en la construcción se traza la perpendicular a este lado pues aplicamos la propiedad de tangencia entre recta y circunferencia.

El ángulo central, con sus lados por los extremos de la cuerda A y B es igual al doble del dado -semiinscrito anterior- y de los inscritos con sus lados por A y B.

El arco capaz de 90 grados es la semicircunferencia (cuerda=diámetro de la circunferencia completa).

Circunferencia y recta

Si una recta corta o seca a una circunferencia por el centro, la divide en dos arcos iguales: semicircunferencias. Y la cuerda de estos arcos es el diámetro. Dado que la circunferencia tiene 360º sexagesimales, el diámetro es su bisectriz y la cuerda de mayor tamaño de la circunferencia.

Si la recta corta a la circunferencia en porciones de arco cada vez más desiguales, la cuerda tendrá menor tamaño; llegando a medir 0 en el caso de que la recta tan sólo corte en un punto a la circunferencia. Este es el caso de la recta tangente, por ello el punto T se considera un punto doble al ser ambos extremos de la cuerda.

El punto T, también es vértice del ángulo de 90º que se forma entre la recta y el radio. Relación espacial que se estudia como propiedad de tangencia.

PROPORCIÓN ÁUREA

DIVISIÓN ÁUREA

El pentágono regular se relaciona con la proporción áurea. 1) El lado del pentágono es división áurea de su diagonal.

La ampliación áurea del lado del pentágono regular es su diagonal.

HEPTÁGONO REGULAR

Construcción de heptágono regular mediante método particular.

Trazando la mediatriz del Radio, la distancia entre intersecciones de la mediatriz con el Radio y la circunferencia es 1/7 de la circunferencia.

PENTÁGONO REGULAR INSCRITO

A partir del pentágono, bisecando los ángulos centrales o los lados se puede dividir la circunferencia en 10 partes iguales y dibujar el decágono regular.

PENTÁGONO REGULAR

Construcción a partir del lado AB

PROPIEDADES

Para la construcción se aplica la proporción áurea

entre lado y diagonal del pentágono regular.

CUADRADO

Construcción conocido el lado AB

Conocida la circunferencia de R= QA

Se aplica la perpendicularidad entre sus lados y entre sus diagonales para ambas construcciones.

Sus diagonales son iguales a dos diámetros perpendiculares, en la circunferencia que lo circunscribe.

A partir de las 4 divisiones iguales, en la circunferencia, se puede trazar el octógono regular, mediante mediatriz de sus divisiones (o bisectriz del ángulo central de las divisiones). Sucesivamente se podrían obtener otros polígonos regulares, al doblar las divisiones equidistantes.

HEXÁGONO REGULAR

Dado el lado del hexágono regular o el radio de la circunferencia que le circunscribe.

PROPIEDADES

El lado del hexágono regular es igual al Radio de la circunferencia que lo circunscribe.

Una de los 2 tipos de diagonales que tiene es igual al diámetro de la circunferencia que lo circunscribe.

Si se toman de dos en dos las divisiones (paso 2), se puede inscribir un triángulo equilátero.

Si se biseca cada cuerda de las divisiones, se puede inscribir el dodecágono regular.

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

Dado que triángulo equilátero tiene los 3 lados iguales se puede construir haciendo arcos de radio igual al lado.

El punto C es vértice y centro de la circunferencia de Radio = lado. La circunferencia se divide en 6 partes iguales con el Radio, por ello se puede inscribir el hexágono regular de lado = Radio e igual al lado del triángulo con vértice en el centro. También se puede inscribir en la circunferencia un triángulo equilátero, a partir de las divisiones calculadas, haciendo paso 2.

División de segmento en partes iguales

Dividir en 5 partes iguales el segmento dado AB

Se ha aplicado el teorema de Tales de triángulos semejantes.

Esta operación básica sirve en el cálculo de escalas y resolución de problemas geométricos.

BARICENTRO

CÓMO HALLAR EL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO ABC

Para hallar el baricentro se trazan las medianas. Una mediana es la recta que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto. Para hallar el punto medio se traza la mediatriz del lado.

PROPIEDADES El baricentro es un punto notable del triángulo pues todo triángulo lo tiene. La distancia del baricentro a un lado es un tercio de la mediana a ese lado, y por lo tanto 2/3 al vértice opuesto. El baricentro es el centro de equilibrio, en física. 

Propiedad de 1/3

Baricentro en triángulos sucesivos

ORTOCENTRO

CÓMO HALLAR EL ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO ABC

PROPIEDADES
El ortocentro es un punto notable pues está en todo triángulo.
Si el triángulo es obtusángulo, el ortocentro es exterior.
Si es rectángulo, el ortocentro es el vértice de los catetos.
Si es acutángulo, el ortocentro es interior.

Puedes mover un vértice para cambiar el tipo de triángulo y observar el cambio de posición del ortocentro.

CIRCUNCENTRO

CÓMO HALLAR EL CIRCUNCENTRO DE UN TRIÁNGULO ABC

PROPIEDADES

El circuncentro es un punto notable del triángulo pues todo triángulo lo tiene.
El incentro equidista de los vértices del triángulo,
por ello se puede circunscribir una circunferencia con centro en él.

INCENTRO

CÓMO HALLAR EL INCENTRO DE UN TRIÁNGULO ABC

PROPIEDADES
El incentro es un punto notable del triángulo pues todo triángulo lo tiene.

El incentro equidista de los lados del triángulo, por ello se puede inscribir una circunferencia con centro en él.

BISECTRIZ

CONSTRUCCIÓN DE LA BISECTRIZ Método con arcos de circunferencia La bisectriz biseca el ángulo (lo divide en dos ángulos iguales). Las circunferencias tangentes a los 2 lados del ángulo tienen su centro en la bisectriz (línea de centros). La bisectriz es una operación para la solución de muchos problemas geométricos. Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo a, b.

Método con diagonales

MEDIATRIZ

CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIATRIZ Dado el segmento AB PROPIEDADES: Los puntos de la mediatriz equidistan de A y B, por eso se pueden pasar circunferencias, con centro en la mediatriz. La circunferencia más pequeña que pasa por A y B tiene de diámetro AB y centro en el punto medio. La circunferencia más grande que pasa por A y B tendría radio infinito y sería la recta definida por AB. La mediatriz es perpendicular al segmento que corta AB y es eje de simetría. La mediatriz es una operación básica para solucionar problemas geométricos.