Homología y cónica de 2 fugas

Consideramos una homología, donde los planos en los que están las figuras homológicas, son: Uno, la proyección horizontal en diédrico –es decir, la planta- y el otro, la perspectiva cónica. Entonces podemos hallar la representación en perspectiva cónica de dos fugas a partir de la planta de una figura.

El eje es la línea de tierra o intersección de los dos planos (donde se puede medir en verdadera magnitud).

El centro de homología es el punto de vista del observador V. La distancia de V a la RL es la distancia del observador  al plano del cuadro o rayo principal VP.

La recta límite RL es la Línea de Horizonte LH, es decir, la altura del observador.

Los puntos de fuga se sitúan en la RL, teniendo en cuenta que determinarán con V un arco capaz de 90 grados.

En el ejemplo se parte de la planta del cuadrado A’B’C’D’, apoyado en el suelo para construir su figura homóloga.

Finalmente, se halla un punto métrico M2 con el que se comprueba la medida del lado real B’C’ de la planta en las posiciones de su lado homólogo BC.

NOTA: En la perspectiva cónica la deformación puede resultar excesiva, aún siendo coherente la homología. Si la figura escapa del espacio ideal de visualización formado por el cono de la radiación desde V con ángulo de 60º frente al plano del cuadro. Este cono recto tiene como eje VP o rayo principal –el punto P es la intersección de la radiación desde V perpendicular al plano del cuadro-.

Afinidad

La afinidad es un caso especial de homología donde el centro de "homología" es impropio. Esto tiene dos consecuencias inmediatas:

1ª  La radiación es una dirección, es decir, las sucesivas rectas que alinean los pares de puntos afines -antes homólogos- al converger en el infinito se convierten en paralelas.

2ª No existen rectas límite.

Esta simplificación, no elimina las relaciones homológicas (ahora afines) entre los puntos, las rectas, las figuras afines. El eje de afinidad sigue siendo el lugar geométrico donde se sitúan los puntos dobles. Y el centro de afinidad, aunque impropio, donde "se cortan" las rectas que alinean los pares de puntos afines.

Aplicación de la afinidad

Hay un caso especial de afinidad, cuando la dirección d es perpendicular al eje, llamado afinidad ortogonal que se puede aplicar en el abatimiento sobre plano de proyección, del sistema diédrico.

La 1ª figura sería la proyección sobre el plano (Planta, si es sobre el horizontal. Alzado, si es sobre el vertical). La 2ª figura sería la figura abatida sobre el plano. El eje de afinidad, la charnela (intersección entre el plano de proyección y el plano que contiene a la figura en el espacio). La dirección, perpendicular al eje o charnela. Puedes ver ejemplo aquí: Polígono sobre plano, en diédrico

Circunferencias de =R tangentes a circunferencia

El nº de circunferencias que nos pidan afecta únicamente a la 1ª parte del método. En ella se trata de relacionar el nº de circunferencias con la cantidad de divisiones de igual tamaño que hay que hacer en la circunferencia dada. Esto se consigue con los polígonos regulares. Tanto si queremos dibujar las soluciones tangentes interiores como exteriores, necesitaremos un polígono regular circunscrito, pues cada punto de tangencia entre circunferencia dada y polígono, será a su vez el punto de contacto con la solución.

En otros artículos hemos comentado cómo dividir circunferencia en partes iguales, por lo que aquí obviaremos el tema.

Si suponemos 6 circunferencias de igual radio, tenemos que trabajar con el hexágono regular circunscrito a la circunferencia. Si suponemos 5 circunferencias, trabajaremos con el pentágono regular circunscrito. Analizaremos caso exteriores a la circunferencia dato.
La mediatriz de cada lado del polígono (empezamos en AB) determina el punto de Tangencia T común a la circunferencia dada, a una solución y al polígono circunscrito.
Los radios, por los vértices del polígono, dividen en las partes iguales necesarias para cada solución.
La bisectriz del ángulo en A, de lados AB y radio por A, al cortar a la mediatriz determina el primer centro solución Q1, así como su radio R= Q1T.
Las demás circunferencias se pueden hallar de igual manera o aplicando relaciones de simetría radial.

Si buscamos relaciones a partir del caso circunferencias interiores a una circunferencia comprobamos que se actuaría de similar manera.
Debemos recordar siempre que los polígonos regulares permiten divisiones iguales en la circunferencia, y a la inversa, las divisiones iguales en la circunferencia permiten la construcción de polígonos regulares.

La tangencia entre rectas y circunferencia implica simetría, pues si dos rectas se cortan, el centro de la circunferencia tangente a ambas está siempre en la bisectriz del ángulo que forman las rectas dadas. Si hablamos del triángulo, el punto notable incentro (intersección de bisectrices) nos da el centro de la circunferencia inscrita. Y la distancia a cualquier lado tangente, el radio de la circunferencia (equidistancia).

Además, se deben tener presentes las propiedades que se cumplen:

• t y circunferencia: el R es perpendicular a t, en T
• circunferencia tangente a circunferencia: los centros se alinean con T

Circunferencia equipotencial

Es la circunferencia formada por puntos que determinan el valor equipotencial de un punto (su centro) respecto de otras circunferencias. Su centro es un punto equipotencial (en eje radical), su radio representa la potencia, y el cuadrado del radio el valor de ella.

Dependiendo de la posición del centro de la circunferencia equipotencial, el radio tendrá distinta relación con las circunferencias dadas:

1) Centro interior: R= altura (perpendicular a la hipotenusa en Cr) del triángulo rectángulo. Hipotenusa = diámetro, de la circunferencia considerada, que pasa por Cr.

2) Centro exterior: R= tangente desde Cr (cateto de triángulo rectángulo, donde la hipotenusa une el Cr con el centro de circunferencia considerada).

3) Centro en circunferencia. R= 0 y la circunferencia equipotencial es un punto, el de contacto entre las circunferencias consideradas (tangentes o secantes)

CENTRO RADICAL INTERIOR

CENTRO RADICAL EXTERIOR