CÓMO TRAZAR ÁNGULOS CON PRECISIÓN

 Los ángulos están formados por 2 semirrectas que tienen el mismo punto de origen, el vértice. Esas semirrectas se llaman lados. Lo cual implica manejar una plantilla para dibujarlos con precisión, preferentemente escuadra o cartabón.

Si se desea un ángulo con una medida concreta, tendremos en cuenta que el ángulo es un sector de plano y quien lo representa completo es la circunferencia. En la medición centesimal la circunferencia se considera de 400º mientras que en la sexagesimal, típica en clase de secundaria, se consideran 360º. Las medidas de los ángulos se dan en grados, minutos y segundos y cuyas cantidades se contabilizan como en un reloj. Es decir, 60 segundos = 1 minuto, 60 minutos = 1 grado. Aunque lo más habitual es procurar trabajar con ángulos enteros en grados (sin precisar minutos, ni mucho menos segundos). ¿Y por qué se hace esto? Una explicación posible es que si dividimos la circunferencia en 24 partes angulares (1 día) obtenemos medidas iguales de 15º que curiosamente es la cantidad mínima con la que se puede trabajar el ángulo entero con la escuadra, cartabón y compás que también coincide con los meridianos terrestres y sus respectivos cambios horarios (cada 15 grados se cambia la hora del reloj). Evidentemente, la relación circunferencia y esfera es muy directa.

Pero con qué podemos trazar un ángulo entero con precisión. Pues tenemos 3 posibilidades básicas que se pueden combinar entre sí (y con al menos siempre una de las 2 plantillas).

1. TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS
2. COMPÁS
3. PLANTILLAS ESCUADRA Y CARTABÓN

Lo más habitual será que además necesitemos cambiar de sitio un ángulo por lo que conviene saber trasladar un ángulo.

La capacidad del dibujante manejando escuadra, cartabón y compás junto a su conocimiento de operaciones con ángulos: traslación, suma, resta, división entre 2 (bisectriz) le confieren versatilidad en el trazado y dominio de la precisión.

 

Clasificación de triángulos

Los triángulos son polígonos pues están delimitados por una línea quebrada (línea polígonal) cerrada que determina 3 lados (siendo la suma de dos lados mayor que la longitud del 3º) y 3 ángulos convexos (cuya suma es 180º sexagesimales).
Todos los triángulos son polígonos convexos, pues ninguno de sus ángulos puede ser cóncavo. Todos son inscribibles en una circunferencia (tienen incentro) y todos pueden ser circunscritos por una circunferencia (tienen circuncentro).

La clasificación más habitual es según dos criterios, y ambos pueden combinarse para describir mejor a un triángulo.

Criterio amplitud de ángulos

• ACUTÁNGULOS. Si todos sus ángulos son menores de 90º.
• RECTÁNGULOS. Si tienen un ángulo de 90º.
• OBTUSÁNGULOS. Si tienen un ángulo mayor de 90º.

Criterio regularidad de lados

• EQUILÁTEROS. Son los regulares. Todos sus lados tienen la misma longitud. Y sus ángulos la misma amplitud, o sea 60º.
• ISÓSCELES. Dos de sus lados miden lo mismo. Por lo que 2 ángulos también serán iguales, justo aquellos situados en los extremos del lado desigual.
• ESCALENO. Los 3 lados desiguales, los 3 ángulos también.

NOMENCLATURA DEL TRIÁNGULO

 La nomenclatura consiste en letras y símbolos que se colocan en el dibujo, para nombrar partes del mismo y que pueden tener variadas formas, desde el punto a líneas, ángulos o incluso figuras. En el triángulo se puede dar nomenclatura a vértices y/o lados, pero siempre teniendo en cuenta el orden adecuado contrario a las agujas del reloj, si este se cambia de sentido se dibuja un triángulo invertido o simétrico (si se coloca a favor de las agujas). Si se desordena, por cambiar el sentido o descolocar aleatoriamente, al partir de ciertos datos (lados y/o ángulos en vértices concretos, por ejemplo), no se estará resolviendo el problema, pues la solución será distinta a la dibujada.

Guada, 2023

Circunferencias de R conocido, tangentes a 2 circunferencias dadas

Para resolver este problema hay que tener en cuenta que la cantidad de soluciones dependerá del tamaño de la solución y de la relación espacial entre las circunferencias dato. En el ejemplo trazado, se han considerado un tamaño grande para la solución y la relación espacial entre las circunferencias es exterior.

La complejidad de la resolución es más debido al efecto visual de la 8 soluciones dibujadas, con sus respectivos pares de puntos de tangencia (uno con cada circunferencia dada, por tanto 16 en total), que a la dificultad real. Pues se trata de sumar y restar radios, dibujar las circunferencias con estas medidas, hallar sus intersecciones y después dibujar las soluciones (con sus T correspondientes).

Para seguir la representación

1. Circunferencias dadas de centros Q1 y Q2. Y medida del radio solución.
2. Aplicación de lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a cada una de las dadas, con el radio solución pedido.
1. R= Rs + R1 Circunferencia verde de trazos, con centro en Q1
2. R= Rs + R2 Circunferencia verde de trazos, con centro en Q2
3. R= Rs - R1 Circunferencia roja de trazos, con centro en Q1
4. R= Rs - R2 Circunferencia roja de trazos, con centro en Q2
3. Las intersecciones, entre las 4 circunferencias de trazos, dan los 8 centros solución. Al pinchar en ellos el compás, con la medida del R solución, salen las 8 soluciones: Las de color verde exteriores a ambas (subíndice e), las de color rojo interiores a ambas (subíndice i) y las de color negro alternan interior-exterior con cada una de las dadas (subíndices ie y ei).
4. Encontrar los puntos de tangencia requiere aplicar la relación que hay entre los centros de dos circunferencias tangentes y el punto de tangencia, es decir: el punto T está en la Línea de Centros que determinan las circunferencias tangentes. En el dibujo, se han respetado los colores para identificar más fácilmente de entre qué circunferencias se trata el punto de tangencia determinado.

Por último, se puede variar en el GeoGebra el tamaño de la solución así como tamaño y relación espacial entre las circunferencias. Para ello se aconseja hacerlo en el inicio de la representación.

Guada, 2021