CÓMO TRAZAR ÁNGULOS CON PRECISIÓN

 Los ángulos están formados por 2 semirrectas que tienen el mismo punto de origen, el vértice. Esas semirrectas se llaman lados. Lo cual implica manejar una plantilla para dibujarlos con precisión, preferentemente escuadra o cartabón.

Si se desea un ángulo con una medida concreta, tendremos en cuenta que el ángulo es un sector de plano y quien lo representa completo es la circunferencia. En la medición centesimal la circunferencia se considera de 400º mientras que en la sexagesimal, típica en clase de secundaria, se consideran 360º. Las medidas de los ángulos se dan en grados, minutos y segundos y cuyas cantidades se contabilizan como en un reloj. Es decir, 60 segundos = 1 minuto, 60 minutos = 1 grado. Aunque lo más habitual es procurar trabajar con ángulos enteros en grados (sin precisar minutos, ni mucho menos segundos). ¿Y por qué se hace esto? Una explicación posible es que si dividimos la circunferencia en 24 partes angulares (1 día) obtenemos medidas iguales de 15º que curiosamente es la cantidad mínima con la que se puede trabajar el ángulo entero con la escuadra, cartabón y compás que también coincide con los meridianos terrestres y sus respectivos cambios horarios (cada 15 grados se cambia la hora del reloj). Evidentemente, la relación circunferencia y esfera es muy directa.

Pero con qué podemos trazar un ángulo entero con precisión. Pues tenemos 3 posibilidades básicas que se pueden combinar entre sí (y con al menos siempre una de las 2 plantillas).

1. TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS
2. COMPÁS
3. PLANTILLAS ESCUADRA Y CARTABÓN

Lo más habitual será que además necesitemos cambiar de sitio un ángulo por lo que conviene saber trasladar un ángulo.

La capacidad del dibujante manejando escuadra, cartabón y compás junto a su conocimiento de operaciones con ángulos: traslación, suma, resta, división entre 2 (bisectriz) le confieren versatilidad en el trazado y dominio de la precisión.

 

TRASLADAR UN ÁNGULO CON EL COMPÁS

 Para trasladar un ángulo con el compás se hace un primer arco con centro en el vértice dado y se repite con el mismo radio en el nuevo vértice. Después se toma con el compás la distancia entre los puntos de intersección del arco con los lados del ángulo dado y se pasa a la nueva posición. Los pasos son similares a la construcción de un triángulo isósceles, donde el lado desigual es la distancia entre dichas intersecciones.

Convexidad de los ángulos

La convexidad es una característica que depende del punto de vista del observador. Estar "dentro o fuera " del objeto influirá en la consideración. La relevancia de un punto de vista, de una situación en concreto, es lo que decidirá si una forma es cóncava o convexa. Cuando las formas son cerradas y las analizamos en conjunto es bastante más fácil dirimir la cuestión de manera inequívoca. En el ejemplo, los ángulos que apuntan hacia el exterior de la figura son ángulos convexos (flechas verdes). Si el polígono fuese de lámina metálica, esos vértices nos pincharían al cogerlo. El ángulo cuyo vértice apunta al interior es cóncavo (flecha roja). Si lo cogemos, ese vértice no podría pincharnos.
Esto se invierte si nos imaginamos en el interior del polígono (habitación).

De un polígono decimos que es cóncavo cuando tiene al menos un ángulo cóncavo. Evidentemente, para afirmarlo, necesitamos conocer cuándo un ángulo es cóncavo o convexo. Los polígonos regulares también pueden ser cóncavos y entonces se les suele llamar estrellas poligonales regulares.

La convexidad en los ángulos está limitada por el ángulo de 180º (y del completo o de 360º). Si un ángulo es menor de 180º grados, se considera convexo y si es mayor, cóncavo. Cualquier par de semirrectas (lados de ángulo), determinan 2 ángulos, uno de ellos será convexo y el otro cóncavo. En cuanto al  llano o de 180º ni es cóncavo ni es convexo y, hablando de polígonos, no se pueden formar ángulos de 180º, serían un lado y no dos.
También hay que tener en cuenta que cuando se habla de la amplitud de un ángulo, formado por 2 rectas, nos referimos por regla general a la medida menor, excepto que se especifique lo contrario. Es decir, que en general se hablará del convexo.

En el ejemplo de Geogebra, partimos del ángulo llano con vértice V (centro del completo). Se pueden mover los puntos A y B para ver convexidades alternadas entre ángulos violeta y azul que evidentemente son conjugados (suman 360º).

Guada, 2020

Los ángulos del triángulo suman 180º

Los grados sexagesimales tienen en cuenta el máximo de amplitud de 360º para el ángulo completo que es la circunferencia, por lo que la partición de la misma por el diámetro nos determina la bisectriz del mismo y el valor de 180º para el ángulo llano.

Esta cantidad es la misma que para la suma de los ángulos del triángulo y se puede demostrar fácilmente trazando una paralela a un lado por el vértice opuesto, la prolongación de los otros dos lados dibujará los mismos ángulos que configuran el triángulo.

NOTA: puedes variar la forma del triángulo

Ángulo entre circunferencias

El ángulo formado por dos líneas que se cortan (líneas o curvas) tiene por vértice el punto de intersección y los lados son las tangentes en ese punto.

El ángulo entre 2 circunferencias, secantes o tangentes, tendrá por vértice el punto de contacto (si son secantes habrá dos solucione simétricas). Las tangentes en ese punto determinarán la apertura del mismo. Si las circunferencias son tangentes, los lados tangentes coinciden en la recta tangente común en ese punto.

Circunferencias secantes

Circunferencias tangentes Si las circunferencias son exteriores, no hay vértice definido. Para analizar el ángulo entre ellas, se trazarán las tangentes, desde el centro de una a la otra circunferencia, y la prolongación de los radios en esos puntos de tangencia serán los lados que determinarán el vértice del ángulo al cortarse.

Circunferencias exteriores CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES: Se dice que dos circunferencias son ortogonales cuando el valor del ángulo que forman es de 90º.

Aplicación en potencia

La circunferencia equipotencial es secante y ortogonal a todas las circunferencias del mismo haz, y tendrá su centro en el eje radical del mismo. Por lo que el radio de la equipotencial en el punto de intersección será la recta tangente de la otra considerada -y viceversa-.

Circunferencias secantes ortogonales

Ángulos y circunferencia

El tipo de ángulo depende de la posición espacial del vértice y la disposición tangente o no de sus lados.

Vértice en el centro de la circunferencia, siempre será central.

Vértice en el interior de la circunferencia, siempre será interior.

Vértie en la circunferencia, puede ser inscrito (sin tangencia) o semiinscrito (un lado tangente).

Vertice en el exterior de la circunferencia, puede ser exterior (sin tangencia) o circunscrito (ambos lados tangentes).

Un caso especial es el ángulo de 180º inscrito o recta tangente a la circunferencia pues ambos lados del ángulo coinciden en la misma recta.