Tangencia entre circunferencia y recta

La relación de tangencia entre dos entes geométricos planos es la de contacto en la que un punto, y solo un punto, es común a ambas formas geométricas lineales. Una de ellas siempre será curva mientras que la otra podrá ser curva o recta. La unión a través del punto de tangencia permite trazar una línea de trazado mixto, es decir con trozos de líneas de distinto tipo, estas líneas son de enlace tangencial. Las líneas de enlace tangencial se aplican frecuentemente en el diseño y permiten el trazado preciso de ciertas curvas.

La relación de tangencia más básica es entre circunferencia y recta (y viceversa) y cuando esta se produce siempre se cumple la propiedad: El Radio es perpendicular a la recta tangente, en el punto de Tangencia.

Si lo que se desea es trazar tangentes a una circunferencia, desde un punto P (nunca interior, pues no habría solución), entonces habrá 1 tangente si el punto está en la circunferencia y dos tangentes si es exterior, además ambas serán simétricas de la recta que una P con el centro. Los pasos:

1º Recta PQ

2º Mediatriz de PQ, pues se precisa el punto medio M

3º Circunferencia de centro M y Radio hasta Q, al secar a la circunferencia dada se obtienen los puntos de contacto T1 y T2.

4º Las tangentes unen cada punto de tangencia con P.

Otras consideraciones:

Las rectas tangentes a una circunferencia son ejes radicales de circunferencias tangentes. Por lo que P se puede considerar centro radical, PT al cuadrado sería el valor de la potencia en ese punto y se podría trazar circunferencia equipotencial de centro P y radio hasta T, la cual sería ortogonal de la dada.

Si invertimos los datos de inicio, es decir: circunferencia de Radio dado tangente a dos rectas que se cortan, observamos que el centro de las circunferencias solución está en la bisectriz, es decir, la recta PQ que trazamos en la solución expuesta gráficamente.

Qué es la acotación

La acotación es el sistema gráfico con el que se colocan las medidas de un objeto en su dibujo. Por supuesto, siempre se trata de dar las medidas reales, independientemente de a qué tamaño se realice el dibujo (escala) y aunque se trace a mano alzada. Esto suele crear confusión entre el alumnado, por lo que es muy importante tenerlo en cuenta.

La medida que se pone en el dibujo siempre es la medida real

Cómo colocar las medidas (cotas) y cómo dibujar las líneas (de cota) sobre las que se situarán las medidas tiene que seguir unas reglas o normas de acotación puesto que la acotación está normalizada (como todo en Dibujo Técnico).
Dependiendo del sistema de acotación y del tipo de dibujo encontraremos ciertas variaciones. Por ejemplo, la línea de cota en el dibujo arquitectónico se delimita por un pequeño trazo mientras que en el dibujo industrial hay que dibujar puntas de flecha.

Debido a que en el examen EBAU (antiguamente PAU) se pide acotación industrial es esta la que practicamos más a menudo, en el aula.

Antes de concretar normas de acotación, debemos pensar en su función. Pues debe facilitar la comprensión formal del objeto real 3D. Las dimensiones son en los 3 ejes: X para el ancho, Y para la profundidad, Z para la altura. Se dan siguiendo este orden o bien especificando a qué dimensión nos referimos.

Los elementos gráficos de la acotación son 3:

1. Cota o medida (sin añadir la unidad métrica, esta se concreta como leyenda o en la escala gráfica)
2. Línea de cota. Tan larga como el segmento medido, paralela al mismo,  y sobre la que situar la cota. En el caso de circunferencias, la línea de cota abarcará el radio o el diámetro en posición inclinada respecto de los ejes ortogonales que determinan su centro.
3. Línea auxiliar de cota. Nace en los extremos de lo medido y suele ser perpendicular a ese segmento.

Normas generales que se deben seguir para acotar

La acotación es un complemento de las vistas (y menos frecuentemente, de la perspectiva) y se traza con línea fina (lápiz duro). En ocasiones puede ahorrarnos una vista, sobre todo cuando utilizamos símbolos de diámetro o de cuadrado.

• Siempre se pone la medida máxima del objeto en cada eje.
• Las acotaciones más pequeñas se distribuyen más próximas al dibujo. Evitando tropiezos de unas líneas con otras.
• Por la razón anterior: nunca se cortará una línea de cota, con ninguna otra línea: del dibujo, auxiliar de cota, arista, línea de cota.
• Las líneas de cota (salvo para arcos y circunferencias) se colocan horizontales y verticales.
• La cota, siempre se sitúa encima de la línea de cota.
• La lectura es: desde la parte inferior de la hoja para las cotas horizontales y desde la derecha para las verticales.
• Si hay circunferencias, se acotan además de su tamaño, la posición de su centro (pues tenemos que saber exactamente el punto dónde pinchar con el compás).
• Se dan todas las medidas necesarias, se evitan las innecesarias y nunca se repiten.

Además de lo anterior, hay que recordar que un buen dibujo es limpio, ordenado, tiene en cuenta la simetría, la equidistancia de distintos elementos, los grosores de línea y sus formas adecuadas. Es decir, que la estética y el buen gusto son imprescindibles. 

Convexidad de los ángulos

La convexidad es una característica que depende del punto de vista del observador. Estar "dentro o fuera " del objeto influirá en la consideración. La relevancia de un punto de vista, de una situación en concreto, es lo que decidirá si una forma es cóncava o convexa. Cuando las formas son cerradas y las analizamos en conjunto es bastante más fácil dirimir la cuestión de manera inequívoca. En el ejemplo, los ángulos que apuntan hacia el exterior de la figura son ángulos convexos (flechas verdes). Si el polígono fuese de lámina metálica, esos vértices nos pincharían al cogerlo. El ángulo cuyo vértice apunta al interior es cóncavo (flecha roja). Si lo cogemos, ese vértice no podría pincharnos.
Esto se invierte si nos imaginamos en el interior del polígono (habitación).

De un polígono decimos que es cóncavo cuando tiene al menos un ángulo cóncavo. Evidentemente, para afirmarlo, necesitamos conocer cuándo un ángulo es cóncavo o convexo. Los polígonos regulares también pueden ser cóncavos y entonces se les suele llamar estrellas poligonales regulares.

La convexidad en los ángulos está limitada por el ángulo de 180º (y del completo o de 360º). Si un ángulo es menor de 180º grados, se considera convexo y si es mayor, cóncavo. Cualquier par de semirrectas (lados de ángulo), determinan 2 ángulos, uno de ellos será convexo y el otro cóncavo. En cuanto al  llano o de 180º ni es cóncavo ni es convexo y, hablando de polígonos, no se pueden formar ángulos de 180º, serían un lado y no dos.
También hay que tener en cuenta que cuando se habla de la amplitud de un ángulo, formado por 2 rectas, nos referimos por regla general a la medida menor, excepto que se especifique lo contrario. Es decir, que en general se hablará del convexo.

En el ejemplo de Geogebra, partimos del ángulo llano con vértice V (centro del completo). Se pueden mover los puntos A y B para ver convexidades alternadas entre ángulos violeta y azul que evidentemente son conjugados (suman 360º).

Guada, 2020

Relaciones espaciales entre rectas

Las relaciones espaciales entre dos (o más) rectas son de 3 tipos: de coincidencia, de intersección o de cruce.

1.   En la coincidencia, las rectas se superponen, ocupan el mismo espacio.

Físicamente son la misma recta (una única posición de recta para la posición de 2 puntos), pero se pueden considerar “diferentes”. Dependerá de las condiciones de esa coincidencia.

1.1.     Por ejemplo recta intersección de dos planos, dado punto A del primer plano y A’ del 2º. Coincidiendo sobre la recta la posición de cada uno de los puntos de un plano con el otro, es decir A con A’, como punto doble.

1.2.     O bien los puntos no coinciden nominalmente por lo que no serían puntos dobles.

1.3.     E incluso se puede dar que realmente tengamos 2 rectas. Es habitual este caso en proyecciones diédricas (una horizontal y otra vertical) donde la coincidencia inicial de líneas se descubre inexistente al traducir a 3D.

2.   En la intersección, las rectas están en un mismo plano.

2.1.     Rectas secantes: hay un momento en que la separación entre las líneas es cero, este instante determina un punto común para ambas, por lo que pertenecerá a las dos rectas. Alejándonos de este punto la distancia entre las rectas aumentará paulatinamente. Se puede hablar del ángulo entre rectas que será siempre el más agudo de los formados.

2.2.     Rectas paralelas: es un caso especial de intersección, ya que las rectas son equidistantes. Y suponemos que también se cortarán ¿en qué momento? en el "infinito", en lo que llamamos punto impropio de la recta, que como son paralelas es el mismo y lo encontraríamos siguiendo su dirección, el punto impropio también lo es del plano que definen. Esta aparente contradicción es la base de la percepción en profundidad de la perspectiva cónica.

3.   El cruce es una opción posible solamente en espacio tridimensional.

Las rectas (que se pueden considerar pertenecientes a dos planos paralelos), en su mayor cercanía tienen una distancia mayor que cero. Esta longitud será mensurable en una perpendicular que corte a ambas (y que será perpendicular a los dos planos paralelos que las contienen).

RECTAS COINCIDENTES

 RECTAS INTERSECCIÓN

 RECTAS CRUZADAS: en planos paralelos