Circunferencias de R conocido, tangentes a 2 circunferencias dadas

Para resolver este problema hay que tener en cuenta que la cantidad de soluciones dependerá del tamaño de la solución y de la relación espacial entre las circunferencias dato. En el ejemplo trazado, se han considerado un tamaño grande para la solución y la relación espacial entre las circunferencias es exterior.

La complejidad de la resolución es más debido al efecto visual de la 8 soluciones dibujadas, con sus respectivos pares de puntos de tangencia (uno con cada circunferencia dada, por tanto 16 en total), que a la dificultad real. Pues se trata de sumar y restar radios, dibujar las circunferencias con estas medidas, hallar sus intersecciones y después dibujar las soluciones (con sus T correspondientes).

Para seguir la representación

1. Circunferencias dadas de centros Q1 y Q2. Y medida del radio solución.
2. Aplicación de lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a cada una de las dadas, con el radio solución pedido.
1. R= Rs + R1 Circunferencia verde de trazos, con centro en Q1
2. R= Rs + R2 Circunferencia verde de trazos, con centro en Q2
3. R= Rs - R1 Circunferencia roja de trazos, con centro en Q1
4. R= Rs - R2 Circunferencia roja de trazos, con centro en Q2
3. Las intersecciones, entre las 4 circunferencias de trazos, dan los 8 centros solución. Al pinchar en ellos el compás, con la medida del R solución, salen las 8 soluciones: Las de color verde exteriores a ambas (subíndice e), las de color rojo interiores a ambas (subíndice i) y las de color negro alternan interior-exterior con cada una de las dadas (subíndices ie y ei).
4. Encontrar los puntos de tangencia requiere aplicar la relación que hay entre los centros de dos circunferencias tangentes y el punto de tangencia, es decir: el punto T está en la Línea de Centros que determinan las circunferencias tangentes. En el dibujo, se han respetado los colores para identificar más fácilmente de entre qué circunferencias se trata el punto de tangencia determinado.

Por último, se puede variar en el GeoGebra el tamaño de la solución así como tamaño y relación espacial entre las circunferencias. Para ello se aconseja hacerlo en el inicio de la representación.

Guada, 2021

CUERDA, DIÁMETRO Y MEDIATRIZ

Si trazamos la mediatriz de cualquier cuerda, en una circunferencia, tendremos una recta secante que determinará el segmento cuerda diámetro. Este segmento suele denominarse mediatriz, aunque en este caso no se trate de toda la recta sino solamente del trozo diámetro, que es la cuerda de mayor longitud que se puede dibujar en una circunferencia.

En algunos problemas se da la mediatriz como dato de medida concreta, es decir, se da el segmento-cuerda-diámetro de la circunferencia. Una posible aplicación es la construcción de un polígono inscriptible cualquiera como triángulo, rectángulo, polígono regular... teniendo en cuenta que ese diámetro es el de la circunferencia que circunscribe al polígono. Luego, llamándolo de otra forma (mediatriz) están dándonos el diámetro de esa circunferencia.

Cómo dibujar una escala gráfica

La escala es una proporción y se puede dibujar.

En primer lugar hay que comprender que la notación de escala es una fracción que compara dos tamaños, el tamaño del dibujo respecto del tamaño real de lo dibujado, es decir

E = lo que ocupa en el papel : lo que mide en la realidad

Gráficamente obtendríamos un segmento donde la medida real es el nº que vamos a utilizar para medir.

EJEMPLOS

Utilizando el cm como módulo

E= 1:100

Cogeríamos con el compás 1 cm desde cero y en la medida real podríamos 100.

E= 3:7

Cogeríamos con el compás desde cero 1 cm 3 veces (3x1cm) y en la medida real podríamos 7.

E= 8:3

Cogeríamos con el compás 1 cm 8 veces (8x1cm) y en la medida real podríamos 3.

Lo siguiente es tener claro que la escala gráfica es una regla y por tanto debemos poner suficientes medidas reales para poder medir correctamente con ella (y el compás) así como subdivisiones (contraescala, a la izquierda del cero) para obtener una medición más precisa.

Esto supone tener en cuenta cómo contamos de forma rápida: De uno en uno, de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10, de 20 en 20, de 25 en 25, de 50 en 50, de 100 en 100, de 500 en 500, de 100 en 100...

Y supone también tener en cuenta el tamaño del segmento que nos ha quedado, pues si es del tamaño cm o mayor podremos dividirlo en 10 partes iguales pero si resulta más pequeño que el cm tendremos que dividirlo en menos trozos.

Para hacer la contraescala pasamos con el compás el segmento al lado izquierdo del cero. Y lo dividimos en partes iguales (aplicando Teorema de Tales si hacemos operación gráfica). Cada subparte será la precisión conseguida.

En la presentación se pueden ver distintos pasos para dibujar cada ejemplo dado, hasta una opción de aspecto final.

Dibujar escalas gráficas de ranabria

Guada, 2020

¿INSCRIBE O CIRCUNSCRIBE?

 Los dos términos se refieren a cómo se relacionan espacialmente una circunferencia y un polígono, cuando tienen puntos en común.

Si los vértices del polígono están en una circunferencia, el polígono está circunscrito por la circunferencia. En este caso, vemos cómo la circunferencia es la que "abraza" al polígono. Mientras que el polígono es el "abrazado", es decir está inscrito.

Si la circunferencia toca a cada lado del polígono, esto solo es posible cuando la circunferencia es la "abrazada", por tanto ella está circunscrita por el polígono. Mientras, el polígono que es quien abraza tiene a la circunferencia inscrita y por tanto tangente interior.

Resumiendo: "circunscribe lo que abraza, se inscribe lo abrazado".

El punto de vista nos dirá qué buscamos y por tanto qué término debemos utilizar.

1. Dada una circunferencia.... inscribe un polígono en ella. O bien circunscribe un polígono.
2. Dado un polígono.... inscribe una circunferencia. O bien dado un polígono circunscribe una circunferencia.

El punto de vista del polígono es el que nos puede guiar mejor, y teniendo en cuenta los puntos notables de un triángulo llamados circuncentro e incentro.

Si queremos trazar circunferencia circunscrita, la que pasa por los vértices, buscaremos el circuncentro. Si las mediatrices de todos los lados se cortan en un mismo punto, ese es el centro de la circunferencia circunscrita. Entonces, el polígono es circunscrito por una circunferencia, pero también está inscrito en  la circunferencia.

Si queremos trazar circunferencia inscrita, la que es tangente interior a los lados del polígono, hallaremos el incentro. Si todas las bisectrices se cortan en un mismo punto, ese es el centro de la circunferencia inscrita. Una vez trazada, el polígono es el circunscrito y la circunferencia la inscrita.

POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS INSCRITA Y CIRCUNSCRITA

Hay cierto tipo de polígonos a los que se les puede inscribir y circunscribir circunferencia, mientras que a otros solo una de ellas o bien ninguna de ambas. 

• TRIÁNGULOS. Tienen incentro y circuncentro. Por tanto se pueden inscribir y circunscribir.
• POLÍGONOS REGULARES. También tienen incentro y circuncentro. Se pueden inscribir y circunscribir. Esta característica permite que para construir polígonos regulares se utilice de forma habitual el dato de la circunferencia circunscrita, tanto para método particular como para método general.
• POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS. Se pueden inscribir en circunferencia pero no tendrán circunferencia inscrita debido a los ángulos cóncavos.
• POLÍGONOS IRREGULARES. Si tienen incentro, se podrán inscribir y si tienen circuncentro se podrán circunscribir. Ambas cualidades a la vez no se darán en los que tengan más de 3 lados y la mayoría de los polígonos irregulares carece de incentro y circuncentro.

Guada, 2020