Triángulo autopolar

Es el triángulo que se relaciona mediante la polaridad con una circunferencia de manera que cada vértice es polo del lado opuesto que será polar, respecto de la circunferencia. Más información sobre polaridad.
Si partimos de un polo como vértice del triángulo, en la polar correspondiente deberemos seleccionar los otros dos vértices. Sus polares respectivas pasarán por el polo inicial.
Para trazar las polares se dibujan las tangentes desde los polos a la circunferencia. Los puntos de tangencia determinan las rectas polares.

Polaridad

Es una relación espacial entre punto, recta y circunferencia donde la separación entre los entes considerados dibujan segmentos en división armónica (razón doble = -1). Los 4 puntos que demuestran la razón están alineados (recta r): dos son fijos y determinan el diámetro de la circunferencia, los otros dos son el Polo, y la intersección entre la recta polar con la recta donde se alinean.

Propiedades de la recta polar:

• Es perpendicular a la recta definida por el Polo y el centro de la Circunferencia.
• Cualquier punto de la polar formará una cuaterna armónica con respecto a la circunferencia, es decir, la recta polar está formada por alineación de puntos Polo -sucesión de cuaternas armónicas-.
• La relación Polo y polar también se da invertida, es decir, si tenemos un punto P como polo, y una polar p, por P pasará una polar p2 y en la intersección de p con la línea al centro tendremos su respectivo Polo P2.
• Cuando corta a la circunferencia, pasa por los puntos de tangencia de las tangentes trazadas desde el Polo.
• Si el Polo está en la circunferencia, la polar es la tangente en ese punto.
• Si el Polo está en el centro de la circunferencia, la polar es impropia.
• Si la polar pasa por el centro de la circunferencia, el Polo es impropio.

Aplicaciones en la resolución de problemas como:

Cuaterna armónica.

Homología de la circunferencia.

Problema de Apolonio (circunferencias tangentes a 3 circunferencias dadas).

Traslación

La Traslación en Dibujo Técnico significa movimiento, pero manteniendo el paralelismo y la cantidad de de desplazamiento para todos los componentes considerados en ella. En realidad, la traslación es un caso especial de homología, donde el centro es impropio y el eje también, de aquí el paralelismo en desplazamiento y entre lados trasladados.

Aunque no se habla mucho de la traslación en la enseñanza del Dibujo, su aplicación es amplia en la resolución de problemas, para simplificarlos. Cuando "mover" implica que se aborde el problema desde un punto de vista menos complicado, en cuanto a datos que considerar. O bien cuando resolver aparte, mejora la visualización de operaciones.

Ejemplos en donde se puede ver la traslación:

1) Suma o Resta de Radios. La operación se muestra a partir del centro de una circunferencia y la utilidad en la otra.

2) A partir del caso anterior, aplicamos en la resolución de rectas tangentes a 2 circunferencias. Las auxiliares de suma y resta de radios trasladan el problema a caso más sencillo de rectas tangentes a 1 circunferencia desde 1 punto (en este caso es el centro Q1). La operación tiene 2 pasos: 1º se traslada para problema más sencillo, 2º se regresa para dar la solución en su sitio. Otra denominación de esta transformación geométrica es dilatación (suma de radios) y contracción (resta de radios).

3) Otro ejemplo de simplificación: Caso de circunferencias tangentes a 1 circunferencia dada y a 2 rectas dadas. Se pasa a caso más sencillo: que pase por un punto, en vez de tener en cuenta la circunferencia entera, este punto deberá ser el centro de la circunferencia dada.

SEGÚN SOLUCIONES CON LA DADA INTERIOR

SEGÚN SOLUCIONES CON LA DADA EXTERIOR Guada

Hipérbola como homóloga de la circunferencia

La homóloga de la circunferencia determina una curva cónica. Para que ésta sea una hipérbola, la circunferencia dada estará cortada por la RL. Los puntos de intersección tendrán sus homólogos como impropios y corresponderían a la "intersección" de las asíntotas con las ramas de la hipérbola. Es decir, la figura homóloga de la circunferencia estará formada por dos trozos o ramas.

Para resolver debemos también tener en cuenta la relación de polaridad entre la circunferencia dada y la recta límite RL.

1º Circunferencia secante a RL que será recta polar. Puntos intersección T1 y T2

2º Tangentes a la circunferencia por T1 y T2 para en su intersección determinar el Polo o punto M. En M' se cortarán las asíntotas de la hipérbola que son las homólogas de esas tangentes.

3º La bisectriz del ángulo asíntotas es el eje de la hipérbola. Para tener claro cuál de las dos bisectrices es la válida, podemos utilizar otro punto C de la curva. Su homólogo nos ilustra el espacio que ocupará la curva entre las asíntotas.

4º Vértices o puntos de inflexión A' y B' de las ramas de la hipérbola. Invirtiendo la homología a partir del eje de la hipérbola (bisectriz anterior), determinamos la intersección en la circunferencia en A y B. Hallamos los homólogos de estos y obtenemos los vértices A' y B'.

5º Focos F1 y F2. Necesitamos circunferencia de centro M' y radio concreto. Para hallar este, trazamos por B' la perpendicular p que corte a asíntota en P. Dibujamos la circunferencia: centro M' y R= M'P. La intersección entre la circunferencia y el eje determina los focos.

6º Dibujamos la curva hipérbola, siguiendo un método de trazado (por ejemplo, por puntos).