Circunferencias de =R tangentes a circunferencia

El nº de circunferencias que nos pidan afecta únicamente a la 1ª parte del método. En ella se trata de relacionar el nº de circunferencias con la cantidad de divisiones de igual tamaño que hay que hacer en la circunferencia dada. Esto se consigue con los polígonos regulares. Tanto si queremos dibujar las soluciones tangentes interiores como exteriores, necesitaremos un polígono regular circunscrito, pues cada punto de tangencia entre circunferencia dada y polígono, será a su vez el punto de contacto con la solución.

En otros artículos hemos comentado cómo dividir circunferencia en partes iguales, por lo que aquí obviaremos el tema.

Si suponemos 6 circunferencias de igual radio, tenemos que trabajar con el hexágono regular circunscrito a la circunferencia. Si suponemos 5 circunferencias, trabajaremos con el pentágono regular circunscrito. Analizaremos caso exteriores a la circunferencia dato.
La mediatriz de cada lado del polígono (empezamos en AB) determina el punto de Tangencia T común a la circunferencia dada, a una solución y al polígono circunscrito.
Los radios, por los vértices del polígono, dividen en las partes iguales necesarias para cada solución.
La bisectriz del ángulo en A, de lados AB y radio por A, al cortar a la mediatriz determina el primer centro solución Q1, así como su radio R= Q1T.
Las demás circunferencias se pueden hallar de igual manera o aplicando relaciones de simetría radial.

Si buscamos relaciones a partir del caso circunferencias interiores a una circunferencia comprobamos que se actuaría de similar manera.
Debemos recordar siempre que los polígonos regulares permiten divisiones iguales en la circunferencia, y a la inversa, las divisiones iguales en la circunferencia permiten la construcción de polígonos regulares.

La tangencia entre rectas y circunferencia implica simetría, pues si dos rectas se cortan, el centro de la circunferencia tangente a ambas está siempre en la bisectriz del ángulo que forman las rectas dadas. Si hablamos del triángulo, el punto notable incentro (intersección de bisectrices) nos da el centro de la circunferencia inscrita. Y la distancia a cualquier lado tangente, el radio de la circunferencia (equidistancia).

Además, se deben tener presentes las propiedades que se cumplen:

• t y circunferencia: el R es perpendicular a t, en T
• circunferencia tangente a circunferencia: los centros se alinean con T

Circunferencia equipotencial

Es la circunferencia formada por puntos que determinan el valor equipotencial de un punto (su centro) respecto de otras circunferencias. Su centro es un punto equipotencial (en eje radical), su radio representa la potencia, y el cuadrado del radio el valor de ella.

Dependiendo de la posición del centro de la circunferencia equipotencial, el radio tendrá distinta relación con las circunferencias dadas:

1) Centro interior: R= altura (perpendicular a la hipotenusa en Cr) del triángulo rectángulo. Hipotenusa = diámetro, de la circunferencia considerada, que pasa por Cr.

2) Centro exterior: R= tangente desde Cr (cateto de triángulo rectángulo, donde la hipotenusa une el Cr con el centro de circunferencia considerada).

3) Centro en circunferencia. R= 0 y la circunferencia equipotencial es un punto, el de contacto entre las circunferencias consideradas (tangentes o secantes)

CENTRO RADICAL INTERIOR

CENTRO RADICAL EXTERIOR

Triángulo autopolar

Es el triángulo que se relaciona mediante la polaridad con una circunferencia de manera que cada vértice es polo del lado opuesto que será polar, respecto de la circunferencia. Más información sobre polaridad.
Si partimos de un polo como vértice del triángulo, en la polar correspondiente deberemos seleccionar los otros dos vértices. Sus polares respectivas pasarán por el polo inicial.
Para trazar las polares se dibujan las tangentes desde los polos a la circunferencia. Los puntos de tangencia determinan las rectas polares.

Polaridad

Es una relación espacial entre punto, recta y circunferencia donde la separación entre los entes considerados dibujan segmentos en división armónica (razón doble = -1). Los 4 puntos que demuestran la razón están alineados (recta r): dos son fijos y determinan el diámetro de la circunferencia, los otros dos son el Polo, y la intersección entre la recta polar con la recta donde se alinean.

Propiedades de la recta polar:

• Es perpendicular a la recta definida por el Polo y el centro de la Circunferencia.
• Cualquier punto de la polar formará una cuaterna armónica con respecto a la circunferencia, es decir, la recta polar está formada por alineación de puntos Polo -sucesión de cuaternas armónicas-.
• La relación Polo y polar también se da invertida, es decir, si tenemos un punto P como polo, y una polar p, por P pasará una polar p2 y en la intersección de p con la línea al centro tendremos su respectivo Polo P2.
• Cuando corta a la circunferencia, pasa por los puntos de tangencia de las tangentes trazadas desde el Polo.
• Si el Polo está en la circunferencia, la polar es la tangente en ese punto.
• Si el Polo está en el centro de la circunferencia, la polar es impropia.
• Si la polar pasa por el centro de la circunferencia, el Polo es impropio.

Aplicaciones en la resolución de problemas como:

Cuaterna armónica.

Homología de la circunferencia.

Problema de Apolonio (circunferencias tangentes a 3 circunferencias dadas).