Relaciones espaciales entre rectas

Las relaciones espaciales entre dos (o más) rectas son de 3 tipos: de coincidencia, de intersección o de cruce.

1.   En la coincidencia, las rectas se superponen, ocupan el mismo espacio.

Físicamente son la misma recta (una única posición de recta para la posición de 2 puntos), pero se pueden considerar “diferentes”. Dependerá de las condiciones de esa coincidencia.

1.1.     Por ejemplo recta intersección de dos planos, dado punto A del primer plano y A’ del 2º. Coincidiendo sobre la recta la posición de cada uno de los puntos de un plano con el otro, es decir A con A’, como punto doble.

1.2.     O bien los puntos no coinciden nominalmente por lo que no serían puntos dobles.

1.3.     E incluso se puede dar que realmente tengamos 2 rectas. Es habitual este caso en proyecciones diédricas (una horizontal y otra vertical) donde la coincidencia inicial de líneas se descubre inexistente al traducir a 3D.

2.   En la intersección, las rectas están en un mismo plano.

2.1.     Rectas secantes: hay un momento en que la separación entre las líneas es cero, este instante determina un punto común para ambas, por lo que pertenecerá a las dos rectas. Alejándonos de este punto la distancia entre las rectas aumentará paulatinamente. Se puede hablar del ángulo entre rectas que será siempre el más agudo de los formados.

2.2.     Rectas paralelas: es un caso especial de intersección, ya que las rectas son equidistantes. Y suponemos que también se cortarán ¿en qué momento? en el "infinito", en lo que llamamos punto impropio de la recta, que como son paralelas es el mismo y lo encontraríamos siguiendo su dirección, el punto impropio también lo es del plano que definen. Esta aparente contradicción es la base de la percepción en profundidad de la perspectiva cónica.

3.   El cruce es una opción posible solamente en espacio tridimensional.

Las rectas (que se pueden considerar pertenecientes a dos planos paralelos), en su mayor cercanía tienen una distancia mayor que cero. Esta longitud será mensurable en una perpendicular que corte a ambas (y que será perpendicular a los dos planos paralelos que las contienen).

RECTAS COINCIDENTES

 RECTAS INTERSECCIÓN

 RECTAS CRUZADAS: en planos paralelos

La recta

La recta es el tipo de línea más utilizado en Dibujo Técnico. Suele definirse como una sucesión de puntos que siguen una única dirección. Claro que para entender esto hay que saber qué es una dirección, la cual curiosamente debemos interpretar como rectilínea, es decir no hablamos de giro. Por eso, cuando damos una dirección, dibujamos un trozo de recta si es rectilínea y un arco de circunferencia si es de giro. Estos conceptos se unifican, pues una recta también puede definirse como una circunferencia de radio infinito o como línea de dirección 180º. Si vamos dibujando circunferencias concéntricas aumentando el radio, el trozo de arco inicial AB perderá curvatura, y llegará un momento en que dejará de ser curvo. Por eso podemos definir circunferencia como polígono regular que tiene n lados, sin olvidar que los lados son segmentos rectilíneos. Es fácil entender porqué la Tierra se consideraba plana durante tanto tiempo incluso después de que científicos dijeran lo contrario, pues las dimensiones tienen mucho que ver con el punto de vista del espectador además de la distancia y el tamaño de lo mensurable. Si invertimos la operación, circunferencias disminuyendo el radio, llegará un momento en que podemos considerar el Radio igual a cero, y entonces llegamos al punto, es decir, la circunferencia puntual.

Para tener un concepto lo más visual posible, conviene que tengamos en la mente todo lo anterior. Pues así comprenderemos mejor que la recta se extiende hasta el infinito, y que tiene un punto impropio (es decir, en esa zona espacial especial) donde se encuentra consigo misma, por eso para alcanzar ese punto podemos ir siguiendo un sentido o el otro, sobre la recta. Esta idea, suele ser bastante útil cuando tenemos que entender ciertos problemas por ejemplo de homología. El concepto de la recta en Dibujo Técnico es bastante abstracto: de grosor el punto, de prolongación infinita. Pero, al igual que con el punto, debemos dar una presentación de ella adecuada para reconocerla, junto con su huella gráfica o expresividad artística normalizada.

1. Determinar su posición. Necesitamos siempre dos datos, de dos posibles maneras:
a) Posición de 2 puntos de ella cualesquiera -no pueden coincidir en posición pues entonces serían el mismo punto-. Gráficamente conviene estén separados para mejorar la precisión de la determinación.
b) Posición de 1 punto de ella y la dirección en que se suceden todos los demás puntos. Debemos conocer la posición 0º de la que partimos (radio horizontal derecho, en la circunferencia, y sentido contrario a las agujas del reloj o bien inclinación respecto de otra recta conocida)

Definir recta 2. Trazado (hay pequeñas variaciones según qué normas se elijan). El trazado, generalmente de color negro, dependerá de lo que represente la línea pudiendo tener un grosor y forma diferente (válido también para curvilíneas): a) Grosores, básicamente 3: Fino para líneas de construcción, medio para datos y grueso para solución. b) Formas, básicamente 3: Continua para contornos de figuras y líneas de construcción. A trazos o discontinua, para aristas ocultas y para cierto tipo de líneas. De eje, alternando trazo punto trazo, para ejes de simetría, de rotación. c) Formas especiales: Línea de dirección (con una punta de flecha). Línea de cota (con extremos en punta de flecha u otras huellas). Línea de corte. 3. Nomenclatura. Letras minúsculas para recta y trozos de recta (como lados de polígonos). Excepción en ciertas líneas: el radio en ocasiones se escribe con letra mayúscula R (evita confundir con el nombre habitual de recta que es r), línea de centros LC, línea de horizonte LH, línea de tierra LT, recta límite RL. En la nomenclatura se pueden añadir subíndices numéricos y superíndices de comillas. Muy habitual en diédrico y en homología. Ejemplos de nomenclatura

Ver Recta, en diédrico

Triángulo equilátero y circunferencias concéntricas

Dadas tres circunferencias concéntricas, hallar triángulo equilátero cuyos vértices se sitúan cada uno en una circunferencia concéntrica distinta.

El problema se puede resolver desde el punto de vista de la homología especial aplicando una transformación geométrica de giro. El giro es una operación que permite el traslado angular de una figura desde un centro. En el caso del triángulo equilátero, podemos considerar cada uno de sus vértices como el girado 60º desde la posición de otro y con centro de giro en el 3º.

Equilátero giro 60º Los pasos para resolver el problema permiten relacionar las 3 circunferencias concéntricas y el triángulo equilátero mediante un giro de 60º, teniendo como centro de giro un punto en la 2ª circunferencia y como radio de giro el radio de ella.

1º         Elegimos un punto B en la 2ª circunferencia (este es uno de los vértices del triángulo equilátero.

2º       Circunferencia de centro B y radio BQ₂ (división en 6 partes iguales de la circunferencia). La intersección ofrece 2 posibilidades, giro levógiro o dextrógiro, elegimos una intersección para Q’₁ como nueva posición del centro de la 1ª circunferencia.

3º        Circunferencia de centro Q’₁ y radio R₁ (hemos girado la 1ª circunferencia 60º, con centro B). Esto nos da intersecciones con la 3ª circunferencia. Cada intersección una posible solución para la longitud del lado del equilátero.

Equilátero en concéntricas

Calcular ESCALA del DIBUJO

La escala es una proporción que relaciona el tamaño del dibujo con el tamaño real del objeto dibujado, del total del objeto y de cada una de sus partes. Si alguna de las partes tiene distinta proporción estamos ante un dibujo desproporcionado, algo que es imprescindible cuando se hacen caricaturas pero que en Dibujo Técnico solo está justificado cuando se hace otra proporción separada, y especificada.

La proporción se expresa con la notación E para Escala, el símbolo =  y una fracción donde el numerador es la medida del dibujo y el denominador la real. Presentada de forma lineal.

E= medida en papel : medida en la realidad

La proporción se puede aplicar a cualquier tamaño del objeto a considerar. Si es mayor que el papel, se hará escala de reducción. Si entra con su tamaño real, escala natural  E= 1:1. Si es muy pequeño, escala de ampliación. Pero, siempre teniendo en cuenta que para calcular la proporción de la escala debe contemplarse la misma unidad métrica en el papel que en la realidad.

Si deseamos que en el papel 1 cm represente 1 metro de la realidad, es un error poner E= 1:1

Tendremos que considerar cuántos cm tiene un metro y así obtendremos la proporción…

Como 1 m = 100 cm, entonces E= 1 cm : 100 cm, es decir  E= 1:100

Lo cual significa que haremos el dibujo 100 veces más pequeño o que el objeto real es 100 veces más grande. Esta escala es habitual para el dibujo de planos de viviendas.

Si conocemos una dimensión del objeto, podremos calcular la proporción en cuanto decidamos cuánto queremos que ocupe en el papel. Debemos seleccionar como dimensión del objeto una de las medidas máximas pues tendremos mayores garantías de calcular una proporción adecuada, según el tamaño del papel y para que se distinga bien el dibujo. Se puede redondear la medida en caso de ser del tipo 133, por 150 o 100 para facilitar posterior simplificación. Y lo mismo para determinar medida en el papel, en vez de empeñarnos en 19 cm mejor escoger 20.

Ejemplo

Supongamos una carretera, para estudiar un tramo de 3,1 km.  En un DIN A-4 en posición horizontal.

Mediremos sobre el papel cuántos centímetros estamos dispuestos a ocupar y esos los pondremos en paralelo con 3 Km (en vez de 3,1 Km, pues redondeamos).

Ocupación de papel, por ejemplo 20 cm. Es decir E= 20 cm : 3 Km. Pero hay que igualar unidades métricas, por tanto si 3 Km = 300.000 cm entonces E= 20 cm : 300.000 cm.

Proporción E= 20 : 300.000
El último paso es ponerla simplificada, pondremos E= 1 : 15.000

Supongamos que queremos dibujar sobre un DIN A-3 en posición horizontal.

Podríamos poner 30 cm en el papel, por lo que E= 30 : 300.000 quedaría como E= 1 : 10.000

Otra circunstancia. Nos dan un dibujo y acotación (de una parte del objeto o de todas ellas). Debemos recordar que la acotación siempre dice el tamaño real del objeto (denominador de la proporción).  Necesitamos conocer la unidad métrica para averiguar a qué escala está el dibujo.

Supongamos que la cota es 25.

Medimos lo que ocupa en el papel, en el ejemplo 5 cm.

Si la unidad de medida es el milímetro.

Tenemos en cuenta que 5 cm = 50 mm

Calculamos la proporción

E= Papel : realidad

Por tanto E= 50 mm : 25 mm y simplificando la fracción obtenemos la escala E= 2:1 es decir, el dibujo está a doble tamaño.

Si la unidad de medida fuese el cm.

E= 5 cm : 25 cm   Simplificamos y obtenemos E= 1 : 5

El dibujo es 5 veces más pequeño.

Si la unidad de medida fuese el dm. entonces 5 cm = 0,5 dm

E= 0,5 dm : 25 dm  y simplificando la fracción, siempre con enteros, obtenemos la escala E= 1 : 50 es decir, el dibujo es 50 veces más pequeño.

OBSERVACIONES:

Para encontrar una escala apropiada, se recomienda buscar la más sencilla posible (las ideales tienen como numerador el 1 en las de reducción y en el denominador en las de ampliación) siempre que permita visualizar el dibujo correctamente (para ello se recomienda redondear medidas para que se pueda simplificar la fracción).

Muchas veces habrá que considerar menos ocupación de espacio en el papel para poder añadir acotaciones, otras vistas, secciones, anotaciones…

Si ya conocemos la escala del dibujo, pero no tenemos la acotación, podemos averiguar las medidas invirtiendo la escala o bien pasando las medidas del dibujo con el compás, sobre la escala gráfica.

ESCALA DE DIBUJO A DIBUJO

La proporción de la escala también puede relacionar un dibujo con otro. En este caso consideramos uno de los dibujos como el objeto real, de manera que el otro es el que dibujaremos. Por lo que para resolver, siguen siendo válidos los consejos anteriores, aunque teniendo en cuenta que

E= medida de dibujo a trazar : medida de dibujo dato

Esta relación entre dibujos es muy utilizada en el dibujo artístico. Y para trabajar con impresiones, desde ordenador o fotocopiadora. Además es útil hablar del coeficiente, que se halla al resolver la fracción (de reducción menor que 1, natural = 1, de ampliación mayor que 1), y del porcentaje pues este es el lenguaje habitual en estas máquinas. Es decir, aplicando el porcentaje de la escala podemos obtener el tamaño exacto que queremos en la impresión.

ESCALA	COEFICIENTE Resolvemos fracción	PORCENTAJE Multiplicamos coeficiente x100
Natural E= 1:1	Natural 1	100%
Reducción E= 1:2	Coeficiente de reducción 0,5	50%
Reducción E= 2:3	Coeficiente de reducción 0,67	67%
Reducción E= 4:5	Coeficiente de reducción 0,8	80%
Ampliación E= 2:1	Coeficiente de ampliación 2	200%
Ampliación E= 3:2	Coeficiente de ampliación 1,5	150%
Ampliación E= 5:4	Coeficiente de ampliación 1,25	125%

La situación de dibujo a dibujo, suele proponerse en exámenes de PAU de Dibujo Técnico, de forma algo más complicada. Pero si sabemos resolver la escala, el problema se simplifica.

Por ejemplo:

Nos dan vistas con una sola cota (estando el dibujo realizado a escala, diferente de la natural) y nos piden dibujar la perspectiva isométrica (sin considerar reducción) a otra escala.

1º Necesitamos averiguar la escala de las vistas (supongamos que obtenemos E= 2:3)

2º Se puede combinar esa escala con la pedida (supongamos la pedida como E= 2:1) para pasar directamente de dibujo a dibujo.

E= escala pedida : escala dato de vistas

Es decir E= 2/1 : 2/3, Resolvemos la fracción E= 2x3 /1x2 = 6:2 por lo que E= 3:1, es decir el dibujo de perspectiva será 3 veces el de las vistas. Si no operamos así, habría que averiguar cada medida de las vistas (invirtiendo la escala) y después aplicarle la escala pedida (claramente más complicado y requiriendo mayor cantidad de tiempo).

Otro caso de dibujo a dibujo, muy frecuente, es la combinación escala y reducción en perspectiva. Entonces supondremos la reducción como una escala pedida en el eje correspondiente y la escala del dibujo, como dato.

E= Reducción en eje : Escala de Perspectiva

Ejemplo

Reducción Cy= 1/3. Escala pedida para Perspectiva E= 3 : 4

La proporción entonces para medir en el eje y sería

Ey= 1/3 : 3/4 luego Ey= 1x4 / 3x3 = 4 / 9   es decir  Ey= 4 : 9

Hasta ahora hemos visto cómo calcular la escala requerida. Pero generalmente este es solo el primer paso. El siguiente es dibujar la escala gráfica, pues en ella medimos directamente con el compás, para trazar sin necesidad de hacer nuevos cálculos. Al fin y al cabo, la escala gráfica es la regla de nuestro dibujo.

Guada, 2013