Construcción de cuadrado

Recordemos que en general precisamos de 2n-3 datos para determinar un polígono, suponiendo como n el nº de lados. En la construcción del cuadrado necesitamos simplemente determinar su tamaño con un dato, dado que su nombre contiene gran cantidad de información:

El cuadrado tiene 4 lados.

Los lados son iguales.

Los lados opuestos son paralelos.

Los lados contiguos con perpendiculares.

Las diagonales son iguales.

Las diagonales son perpendiculares entre sí.

La diagonal parte al cuadrado en dos triángulos escuadra iguales, lo que la relaciona con la semicircunferencia y el arco capaz de 90º.

El cuadrado es inscriptible en una circunferencia, dividiéndola en 4 partes iguales.

El cuadrado puede circunscribir una circunferencia y sus puntos de tangencia determinan las diagonales como diámetro.

Todos los cuadrados son semejantes.

Además tenemos propiedades como la suma de diagonal+lado y la diferencia de diagonal-lado.

La mayoría de los problemas solicitando la construcción de cuadrados se resuelven aplicando proporción y homotecia. Y como en muchos casos del dibujo técnico, puede haber más de un camino para obtener la solución.

Por ejemplo, si tenemos como dato diagonal+lado y no recordamos la propiedad podemos resolver aplicando homotecia.

Equivalencias: cuadratura del círculo

El método que vamos a seguir para hallar un cuadrado equivalente de un círculo pasa por hallar sucesivamente un triángulo (rectángulo) equivalente, el rectángulo equivalente y finalmente el cuadrado equivalente.

1º Se rectifica la circunferencia (se ha aplicado el método de Arquímedes).

2º Se dibuja el triángulo de base el segmento rectificación y de altura el radio.

3º Se dibuja el rectángulo con la mitad de la base (rectificación) del triángulo y la misma altura (radio).

4º Se halla la media proporcional de la suma de lados del rectángulo (método de la altura del triángulo rectángulo) que será la medida del lado del cuadrado.

cuadratura de círculo

Cuadrado equivalente a 2 cuadrados

Si un cuadrado es equivalente a otros dos es porque la suma de las áreas de estos es igual a la del primero. La suma se puede hacer fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras: hipotenusa al cuadrado igual a primer cateto al cuadrado más el 2º cateto al cuadrado -recordemos que el área del cuadrado es lado al cuadrado-. Los catetos serán los lados de los cuadrados a sumar y la hipotenusa, el lado resultado de la suma.

Cuadrado y rectángulo equivalentes

Un cuadrado es equivalente a un rectángulo cuando tiene la misma área. Si un cuadrado es equivalente a un rectángulo, el lado del cuadrado es media proporcional de la suma de los lados diferentes del rectángulo. Por ello para calcular un cuadrado equivalente a un rectángulo dado seguimos los pasos que permiten calcular la media proporcional.

1º Sobre una recta sumamos los lados a y b del rectángulo.

2º Hallamos arco capaz de 90º para el segmento suma anterior.

3º Aplicamos teorema de la altura del triángulo rectángulo que es media proporcional de la partición que hace en la hipotenusa.

4º La altura es el lado l4 del cuadrado.

Siguiendo el mismo razonamiento, de un cuadrado podemos pasar a un rectángulo equivalente.

1º Sobre una recta perpendicular situaremos un punto P1.

2º Desde este punto al extremo del lado perpendicular, tenemos el primer cateto de la propiedad que aplicamos (Teorema de la altura)

3º La perpendicular a este cateto, al cortar a la recta inicial, determinará el 2º cateto y, sobre la recta, la hipotenusa (P1-P2), que al ser partida por el lado del cuadrado nos da los dos lados del rectángulo: l1 y l2

Nota: Se comprueba la propiedad trazando el arco capaz de 90º.

CUADRADO: Propiedad diagonal + lado

Se trata de la propiedad que tiene todo triángulo por serlo (ver propiedad de triángulos) y para aplicarla seleccionamos un triángulo en el cuadrado. El formado por dos lados y una diagonal, que es un triángulo bastante especial al tener un ángulo de 90º por ser esquina de cuadrado y 2 de 45º por ser rectángulo isósceles (la escuadra). Ahora, si sumamos la diagonal al lado podemos dibujar el triángulo isósceles adyacente y que tendrá como valor de sus ángulos iguales la mitad de 45º

 

Esta propiedad del cuadrado se aplica cuando se da como dato la suma de lado y diagonal.

CUADRADO: Propiedad diagonal - lado

Si se dibuja el triángulo rectángulo adyacente a un cuadrado, en el que un cateto es el lado del cuadrado y el otro la diferencia entre diagonal y lado, observamos la siguiente relación angular de la hipotenusa en sus extremos, un ángulo vale la mitad de 45º y el otro la mitad de 135º (180-45º).

Esta propiedad se aplica en la construcción de cuadrados para los que se facilita como dato la diferencia entre diagonal y lado.

CUADRADO

Construcción conocido el lado AB

Conocida la circunferencia de R= QA

Se aplica la perpendicularidad entre sus lados y entre sus diagonales para ambas construcciones.

Sus diagonales son iguales a dos diámetros perpendiculares, en la circunferencia que lo circunscribe.

A partir de las 4 divisiones iguales, en la circunferencia, se puede trazar el octógono regular, mediante mediatriz de sus divisiones (o bisectriz del ángulo central de las divisiones). Sucesivamente se podrían obtener otros polígonos regulares, al doblar las divisiones equidistantes.