Convexidad de los ángulos

La convexidad es una característica que depende del punto de vista del observador. Estar "dentro o fuera " del objeto influirá en la consideración. La relevancia de un punto de vista, de una situación en concreto, es lo que decidirá si una forma es cóncava o convexa. Cuando las formas son cerradas y las analizamos en conjunto es bastante más fácil dirimir la cuestión de manera inequívoca. En el ejemplo, los ángulos que apuntan hacia el exterior de la figura son ángulos convexos (flechas verdes). Si el polígono fuese de lámina metálica, esos vértices nos pincharían al cogerlo. El ángulo cuyo vértice apunta al interior es cóncavo (flecha roja). Si lo cogemos, ese vértice no podría pincharnos.
Esto se invierte si nos imaginamos en el interior del polígono (habitación).

De un polígono decimos que es cóncavo cuando tiene al menos un ángulo cóncavo. Evidentemente, para afirmarlo, necesitamos conocer cuándo un ángulo es cóncavo o convexo. Los polígonos regulares también pueden ser cóncavos y entonces se les suele llamar estrellas poligonales regulares.

La convexidad en los ángulos está limitada por el ángulo de 180º (y del completo o de 360º). Si un ángulo es menor de 180º grados, se considera convexo y si es mayor, cóncavo. Cualquier par de semirrectas (lados de ángulo), determinan 2 ángulos, uno de ellos será convexo y el otro cóncavo. En cuanto al  llano o de 180º ni es cóncavo ni es convexo y, hablando de polígonos, no se pueden formar ángulos de 180º, serían un lado y no dos.
También hay que tener en cuenta que cuando se habla de la amplitud de un ángulo, formado por 2 rectas, nos referimos por regla general a la medida menor, excepto que se especifique lo contrario. Es decir, que en general se hablará del convexo.

En el ejemplo de Geogebra, partimos del ángulo llano con vértice V (centro del completo). Se pueden mover los puntos A y B para ver convexidades alternadas entre ángulos violeta y azul que evidentemente son conjugados (suman 360º).

Guada, 2020

Relaciones espaciales entre rectas

Las relaciones espaciales entre dos (o más) rectas son de 3 tipos: de coincidencia, de intersección o de cruce.

1.   En la coincidencia, las rectas se superponen, ocupan el mismo espacio.

Físicamente son la misma recta (una única posición de recta para la posición de 2 puntos), pero se pueden considerar “diferentes”. Dependerá de las condiciones de esa coincidencia.

1.1.     Por ejemplo recta intersección de dos planos, dado punto A del primer plano y A’ del 2º. Coincidiendo sobre la recta la posición de cada uno de los puntos de un plano con el otro, es decir A con A’, como punto doble.

1.2.     O bien los puntos no coinciden nominalmente por lo que no serían puntos dobles.

1.3.     E incluso se puede dar que realmente tengamos 2 rectas. Es habitual este caso en proyecciones diédricas (una horizontal y otra vertical) donde la coincidencia inicial de líneas se descubre inexistente al traducir a 3D.

2.   En la intersección, las rectas están en un mismo plano.

2.1.     Rectas secantes: hay un momento en que la separación entre las líneas es cero, este instante determina un punto común para ambas, por lo que pertenecerá a las dos rectas. Alejándonos de este punto la distancia entre las rectas aumentará paulatinamente. Se puede hablar del ángulo entre rectas que será siempre el más agudo de los formados.

2.2.     Rectas paralelas: es un caso especial de intersección, ya que las rectas son equidistantes. Y suponemos que también se cortarán ¿en qué momento? en el "infinito", en lo que llamamos punto impropio de la recta, que como son paralelas es el mismo y lo encontraríamos siguiendo su dirección, el punto impropio también lo es del plano que definen. Esta aparente contradicción es la base de la percepción en profundidad de la perspectiva cónica.

3.   El cruce es una opción posible solamente en espacio tridimensional.

Las rectas (que se pueden considerar pertenecientes a dos planos paralelos), en su mayor cercanía tienen una distancia mayor que cero. Esta longitud será mensurable en una perpendicular que corte a ambas (y que será perpendicular a los dos planos paralelos que las contienen).

RECTAS COINCIDENTES

 RECTAS INTERSECCIÓN

 RECTAS CRUZADAS: en planos paralelos

La recta

La recta es el tipo de línea más utilizado en Dibujo Técnico. Suele definirse como una sucesión de puntos que siguen una única dirección. Claro que para entender esto hay que saber qué es una dirección, la cual curiosamente debemos interpretar como rectilínea, es decir no hablamos de giro. Por eso, cuando damos una dirección, dibujamos un trozo de recta si es rectilínea y un arco de circunferencia si es de giro. Estos conceptos se unifican, pues una recta también puede definirse como una circunferencia de radio infinito o como línea de dirección 180º. Si vamos dibujando circunferencias concéntricas aumentando el radio, el trozo de arco inicial AB perderá curvatura, y llegará un momento en que dejará de ser curvo. Por eso podemos definir circunferencia como polígono regular que tiene n lados, sin olvidar que los lados son segmentos rectilíneos. Es fácil entender porqué la Tierra se consideraba plana durante tanto tiempo incluso después de que científicos dijeran lo contrario, pues las dimensiones tienen mucho que ver con el punto de vista del espectador además de la distancia y el tamaño de lo mensurable. Si invertimos la operación, circunferencias disminuyendo el radio, llegará un momento en que podemos considerar el Radio igual a cero, y entonces llegamos al punto, es decir, la circunferencia puntual.

Para tener un concepto lo más visual posible, conviene que tengamos en la mente todo lo anterior. Pues así comprenderemos mejor que la recta se extiende hasta el infinito, y que tiene un punto impropio (es decir, en esa zona espacial especial) donde se encuentra consigo misma, por eso para alcanzar ese punto podemos ir siguiendo un sentido o el otro, sobre la recta. Esta idea, suele ser bastante útil cuando tenemos que entender ciertos problemas por ejemplo de homología. El concepto de la recta en Dibujo Técnico es bastante abstracto: de grosor el punto, de prolongación infinita. Pero, al igual que con el punto, debemos dar una presentación de ella adecuada para reconocerla, junto con su huella gráfica o expresividad artística normalizada.

1. Determinar su posición. Necesitamos siempre dos datos, de dos posibles maneras:
a) Posición de 2 puntos de ella cualesquiera -no pueden coincidir en posición pues entonces serían el mismo punto-. Gráficamente conviene estén separados para mejorar la precisión de la determinación.
b) Posición de 1 punto de ella y la dirección en que se suceden todos los demás puntos. Debemos conocer la posición 0º de la que partimos (radio horizontal derecho, en la circunferencia, y sentido contrario a las agujas del reloj o bien inclinación respecto de otra recta conocida)

Definir recta 2. Trazado (hay pequeñas variaciones según qué normas se elijan). El trazado, generalmente de color negro, dependerá de lo que represente la línea pudiendo tener un grosor y forma diferente (válido también para curvilíneas): a) Grosores, básicamente 3: Fino para líneas de construcción, medio para datos y grueso para solución. b) Formas, básicamente 3: Continua para contornos de figuras y líneas de construcción. A trazos o discontinua, para aristas ocultas y para cierto tipo de líneas. De eje, alternando trazo punto trazo, para ejes de simetría, de rotación. c) Formas especiales: Línea de dirección (con una punta de flecha). Línea de cota (con extremos en punta de flecha u otras huellas). Línea de corte. 3. Nomenclatura. Letras minúsculas para recta y trozos de recta (como lados de polígonos). Excepción en ciertas líneas: el radio en ocasiones se escribe con letra mayúscula R (evita confundir con el nombre habitual de recta que es r), línea de centros LC, línea de horizonte LH, línea de tierra LT, recta límite RL. En la nomenclatura se pueden añadir subíndices numéricos y superíndices de comillas. Muy habitual en diédrico y en homología. Ejemplos de nomenclatura

Ver Recta, en diédrico

Triángulo equilátero y circunferencias concéntricas

Dadas tres circunferencias concéntricas, hallar triángulo equilátero cuyos vértices se sitúan cada uno en una circunferencia concéntrica distinta.

El problema se puede resolver desde el punto de vista de la homología especial aplicando una transformación geométrica de giro. El giro es una operación que permite el traslado angular de una figura desde un centro. En el caso del triángulo equilátero, podemos considerar cada uno de sus vértices como el girado 60º desde la posición de otro y con centro de giro en el 3º.

Equilátero giro 60º Los pasos para resolver el problema permiten relacionar las 3 circunferencias concéntricas y el triángulo equilátero mediante un giro de 60º, teniendo como centro de giro un punto en la 2ª circunferencia y como radio de giro el radio de ella.

1º         Elegimos un punto B en la 2ª circunferencia (este es uno de los vértices del triángulo equilátero.

2º       Circunferencia de centro B y radio BQ₂ (división en 6 partes iguales de la circunferencia). La intersección ofrece 2 posibilidades, giro levógiro o dextrógiro, elegimos una intersección para Q’₁ como nueva posición del centro de la 1ª circunferencia.

3º        Circunferencia de centro Q’₁ y radio R₁ (hemos girado la 1ª circunferencia 60º, con centro B). Esto nos da intersecciones con la 3ª circunferencia. Cada intersección una posible solución para la longitud del lado del equilátero.

Equilátero en concéntricas