POTENCIA

Puedes mover A y B para obtener P exterior

La potencia relaciona con una constante un punto y una circunferencia mediante las secantes a la circunferencia que pasan por ese punto. El valor es el producto de los segmentos determinados desde P a cada una de las intersecciones de cada recta con la circunferencia.

PAxPA'=PBxPB' =PCxPC' etc

Cuando el punto P es interior, el producto es h al cuadrado, siendo h la altura del triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa el diámetro que pasa por P (ver arco capaz de 90º).

Cuando el punto P es exterior, el producto es la t al cuadrado, siendo esta la distancia de P al punto T, pues el punto de tangencia es un punto doble.

Cuando el punto P está en la circunferencia, una de las 2 distancias determinadas es nula, por lo que el producto será cero.

La aplicación más habitual de la potencia es la resolución de problemas de tangencia, pues además este concepto se amplía con la relación de un punto con dos circunferencias, con tres o con infinitas. Es decir: eje radical, centro radical, circunferencia equipotencial y haces de circunfererncias coaxiales.

CUADRADO: Propiedad diagonal + lado

Se trata de la propiedad que tiene todo triángulo por serlo (ver propiedad de triángulos) y para aplicarla seleccionamos un triángulo en el cuadrado. El formado por dos lados y una diagonal, que es un triángulo bastante especial al tener un ángulo de 90º por ser esquina de cuadrado y 2 de 45º por ser rectángulo isósceles (la escuadra). Ahora, si sumamos la diagonal al lado podemos dibujar el triángulo isósceles adyacente y que tendrá como valor de sus ángulos iguales la mitad de 45º

 

Esta propiedad del cuadrado se aplica cuando se da como dato la suma de lado y diagonal.

CUADRADO: Propiedad diagonal - lado

Si se dibuja el triángulo rectángulo adyacente a un cuadrado, en el que un cateto es el lado del cuadrado y el otro la diferencia entre diagonal y lado, observamos la siguiente relación angular de la hipotenusa en sus extremos, un ángulo vale la mitad de 45º y el otro la mitad de 135º (180-45º).

Esta propiedad se aplica en la construcción de cuadrados para los que se facilita como dato la diferencia entre diagonal y lado.

Propiedad del triángulo: suma de lados

Dado el triángulo ABC, si se añade un lado sobre la recta de otro y se unen los vértices, se dibuja un triángulo isósceles adyacente pudiendo observarse varias constantes entre ambos:

Los ángulos iguales del isósceles miden la mitad del vértice que parte la suma.

La base del isósceles es paralela a la bisectriz del ángulo en ese vértice.

La mediatriz de la base del isósceles pasa por ese vértice y parte al isósceles en triángulos rectángulos adyacentes. Los ángulos del triángulo rectángulo adyacente valen 90º, la mitad del vértice que parte la suma y lo que quede hasta 180º.

La aplicación de la propiedad de suma de lados es para la construcción de triángulos, en el caso de que se ofrezca como dato la suma de dos lados o de los tres.

Estrellas Heptagonales Regulares

CONSTRUCCIÓN:

Se divide la circunferencia en 7 partes iguales. En este caso se aplica método particular con la mediatriz del Radio de la circunferencia. Cada punto en la circunferencia será una punta de la estrella. Los otros vértices de la figura son los ángulos cóncavos del polígono y motivo por el que se clasifica entre los polígonos cóncavos, en este caso, regulares.

Si unimos las divisiones de la circunferencia saltando un punto (para llegar al 2º) obtenemos la estrella heptagonal regular de paso 2. Y para cerrar el polígono habremos dado 2 vueltas a la circunferencia.

Si saltamos 2 puntos (para alcanzar el 3º) dibujamos la estrella de paso 3 dando 3 vueltas a la circunferencia.

PROPIEDADES:

Prolongando los lados de los polígonos estrellados se observan sucesivamente, y de menor tamaño, los polígonos de paso anterior.

El polígono de paso 1 es el convexo, aquí se dibuja el heptágono regular.

Ángulos y circunferencia

El tipo de ángulo depende de la posición espacial del vértice y la disposición tangente o no de sus lados.

Vértice en el centro de la circunferencia, siempre será central.

Vértice en el interior de la circunferencia, siempre será interior.

Vértie en la circunferencia, puede ser inscrito (sin tangencia) o semiinscrito (un lado tangente).

Vertice en el exterior de la circunferencia, puede ser exterior (sin tangencia) o circunscrito (ambos lados tangentes).

Un caso especial es el ángulo de 180º inscrito o recta tangente a la circunferencia pues ambos lados del ángulo coinciden en la misma recta.

ARCO CAPAZ

CONSTRUCCIÓN DE ARCO CAPAZ

El arco capaz relaciona un ángulo con un arco de circunferencia.

Para su construcción se necesitan dos datos:

un ángulo y un segmento que será la cuerda del arco.El arco capaz es aplicable en la solución de muchos problemas geométricos, principalmente homología y perspectiva.

PROPIEDADES DEL ARCO CAPAZ

El ángulo dado es el semiinscrito en el arco capaz con vértice en el extremo de la cuerda que determina el arco y que define uno de los lados del ángulo. El otro lado, es tangente al arco, siendo el vértice el punto de tangencia. Por esta razón, en la construcción se traza la perpendicular a este lado pues aplicamos la propiedad de tangencia entre recta y circunferencia.

El ángulo central, con sus lados por los extremos de la cuerda A y B es igual al doble del dado -semiinscrito anterior- y de los inscritos con sus lados por A y B.

El arco capaz de 90 grados es la semicircunferencia (cuerda=diámetro de la circunferencia completa).

Circunferencia y recta

Si una recta corta o seca a una circunferencia por el centro, la divide en dos arcos iguales: semicircunferencias. Y la cuerda de estos arcos es el diámetro. Dado que la circunferencia tiene 360º sexagesimales, el diámetro es su bisectriz y la cuerda de mayor tamaño de la circunferencia.

Si la recta corta a la circunferencia en porciones de arco cada vez más desiguales, la cuerda tendrá menor tamaño; llegando a medir 0 en el caso de que la recta tan sólo corte en un punto a la circunferencia. Este es el caso de la recta tangente, por ello el punto T se considera un punto doble al ser ambos extremos de la cuerda.

El punto T, también es vértice del ángulo de 90º que se forma entre la recta y el radio. Relación espacial que se estudia como propiedad de tangencia.

PROPORCIÓN ÁUREA

DIVISIÓN ÁUREA

El pentágono regular se relaciona con la proporción áurea. 1) El lado del pentágono es división áurea de su diagonal.

La ampliación áurea del lado del pentágono regular es su diagonal.

HEPTÁGONO REGULAR

Construcción de heptágono regular mediante método particular.

Trazando la mediatriz del Radio, la distancia entre intersecciones de la mediatriz con el Radio y la circunferencia es 1/7 de la circunferencia.

PENTÁGONO REGULAR INSCRITO

A partir del pentágono, bisecando los ángulos centrales o los lados se puede dividir la circunferencia en 10 partes iguales y dibujar el decágono regular.

PENTÁGONO REGULAR

Construcción a partir del lado AB

PROPIEDADES

Para la construcción se aplica la proporción áurea

entre lado y diagonal del pentágono regular.

CUADRADO

Construcción conocido el lado AB

Conocida la circunferencia de R= QA

Se aplica la perpendicularidad entre sus lados y entre sus diagonales para ambas construcciones.

Sus diagonales son iguales a dos diámetros perpendiculares, en la circunferencia que lo circunscribe.

A partir de las 4 divisiones iguales, en la circunferencia, se puede trazar el octógono regular, mediante mediatriz de sus divisiones (o bisectriz del ángulo central de las divisiones). Sucesivamente se podrían obtener otros polígonos regulares, al doblar las divisiones equidistantes.

HEXÁGONO REGULAR

Dado el lado del hexágono regular o el radio de la circunferencia que le circunscribe.

PROPIEDADES

El lado del hexágono regular es igual al Radio de la circunferencia que lo circunscribe.

Una de los 2 tipos de diagonales que tiene es igual al diámetro de la circunferencia que lo circunscribe.

Si se toman de dos en dos las divisiones (paso 2), se puede inscribir un triángulo equilátero.

Si se biseca cada cuerda de las divisiones, se puede inscribir el dodecágono regular.

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

Dado que triángulo equilátero tiene los 3 lados iguales se puede construir haciendo arcos de radio igual al lado.

El punto C es vértice y centro de la circunferencia de Radio = lado. La circunferencia se divide en 6 partes iguales con el Radio, por ello se puede inscribir el hexágono regular de lado = Radio e igual al lado del triángulo con vértice en el centro. También se puede inscribir en la circunferencia un triángulo equilátero, a partir de las divisiones calculadas, haciendo paso 2.

División de segmento en partes iguales

Dividir en 5 partes iguales el segmento dado AB

Se ha aplicado el teorema de Tales de triángulos semejantes.

Esta operación básica sirve en el cálculo de escalas y resolución de problemas geométricos.

BARICENTRO

CÓMO HALLAR EL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO ABC

Para hallar el baricentro se trazan las medianas. Una mediana es la recta que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto. Para hallar el punto medio se traza la mediatriz del lado.

PROPIEDADES El baricentro es un punto notable del triángulo pues todo triángulo lo tiene. La distancia del baricentro a un lado es un tercio de la mediana a ese lado, y por lo tanto 2/3 al vértice opuesto. El baricentro es el centro de equilibrio, en física. 

Propiedad de 1/3

Baricentro en triángulos sucesivos

ORTOCENTRO

CÓMO HALLAR EL ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO ABC

PROPIEDADES
El ortocentro es un punto notable pues está en todo triángulo.
Si el triángulo es obtusángulo, el ortocentro es exterior.
Si es rectángulo, el ortocentro es el vértice de los catetos.
Si es acutángulo, el ortocentro es interior.

Puedes mover un vértice para cambiar el tipo de triángulo y observar el cambio de posición del ortocentro.

CIRCUNCENTRO

CÓMO HALLAR EL CIRCUNCENTRO DE UN TRIÁNGULO ABC

PROPIEDADES

El circuncentro es un punto notable del triángulo pues todo triángulo lo tiene.
El incentro equidista de los vértices del triángulo,
por ello se puede circunscribir una circunferencia con centro en él.

INCENTRO

CÓMO HALLAR EL INCENTRO DE UN TRIÁNGULO ABC

PROPIEDADES
El incentro es un punto notable del triángulo pues todo triángulo lo tiene.

El incentro equidista de los lados del triángulo, por ello se puede inscribir una circunferencia con centro en él.

BISECTRIZ

CONSTRUCCIÓN DE LA BISECTRIZ Método con arcos de circunferencia La bisectriz biseca el ángulo (lo divide en dos ángulos iguales). Las circunferencias tangentes a los 2 lados del ángulo tienen su centro en la bisectriz (línea de centros). La bisectriz es una operación para la solución de muchos problemas geométricos. Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo a, b.

Método con diagonales

MEDIATRIZ

CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIATRIZ Dado el segmento AB PROPIEDADES: Los puntos de la mediatriz equidistan de A y B, por eso se pueden pasar circunferencias, con centro en la mediatriz. La circunferencia más pequeña que pasa por A y B tiene de diámetro AB y centro en el punto medio. La circunferencia más grande que pasa por A y B tendría radio infinito y sería la recta definida por AB. La mediatriz es perpendicular al segmento que corta AB y es eje de simetría. La mediatriz es una operación básica para solucionar problemas geométricos.