Cuadrado equivalente a 2 cuadrados

Si un cuadrado es equivalente a otros dos es porque la suma de las áreas de estos es igual a la del primero. La suma se puede hacer fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras: hipotenusa al cuadrado igual a primer cateto al cuadrado más el 2º cateto al cuadrado -recordemos que el área del cuadrado es lado al cuadrado-. Los catetos serán los lados de los cuadrados a sumar y la hipotenusa, el lado resultado de la suma.

Cuadrado y rectángulo equivalentes

Un cuadrado es equivalente a un rectángulo cuando tiene la misma área. Si un cuadrado es equivalente a un rectángulo, el lado del cuadrado es media proporcional de la suma de los lados diferentes del rectángulo. Por ello para calcular un cuadrado equivalente a un rectángulo dado seguimos los pasos que permiten calcular la media proporcional.

1º Sobre una recta sumamos los lados a y b del rectángulo.

2º Hallamos arco capaz de 90º para el segmento suma anterior.

3º Aplicamos teorema de la altura del triángulo rectángulo que es media proporcional de la partición que hace en la hipotenusa.

4º La altura es el lado l4 del cuadrado.

Siguiendo el mismo razonamiento, de un cuadrado podemos pasar a un rectángulo equivalente.

1º Sobre una recta perpendicular situaremos un punto P1.

2º Desde este punto al extremo del lado perpendicular, tenemos el primer cateto de la propiedad que aplicamos (Teorema de la altura)

3º La perpendicular a este cateto, al cortar a la recta inicial, determinará el 2º cateto y, sobre la recta, la hipotenusa (P1-P2), que al ser partida por el lado del cuadrado nos da los dos lados del rectángulo: l1 y l2

Nota: Se comprueba la propiedad trazando el arco capaz de 90º.

Rectángulo y triángulo equivalentes

El área de un rectángulo y de un triángulo se diferencian tan solo porque el producto de lado x altura en el triángulo está partido por 2 y en el rectángulo no. Por ello, con cortar en 2 al triángulo, y aprovechando la parte superior en trozos de triángulos rectángulos sobrantes del triángulo original, podemos formar el puzzle de un rectángulo equivalente.

También se puede observar la operación inversa: de un rectángulo obtener un triángulo. En este caso, se duplica el lado que determinará la altura total del triángulo.

Triángulos equivalentes

Las figuras equivalentes son aquellas formas poligonales que tienen igual área. Pueden ser de igual o distinto número de lados. Entendiendo al círculo como un polígono de infinito número de lados, también tenemos círculo equivalente a cualquier polígono.

Para que dos o más triángulos sean equivalentes entre sí debemos mantener la medida de un lado (base) y la altura respecto de este. Recordamos que el área de un triángulo es base x altura /2. Es decir, a igual base y altura, el mismo resultado.

NOTA: Mueve vértices para comprobar

Circunferencias tangentes a 1 dada, por 2 puntos dados

Cualquier problema que se vaya a resolver precisa una previa reflexión. Tener claros los datos disponibles e imaginar cómo será la solución es imprescindible para no perderse. Suele ser útil hacer un boceto de las posibles soluciones para descubrir relaciones geométricas que se puedan aplicar.

En este problema, para que halla solución, los puntos dados pueden encontrarse en distintos casos:

Ambos puntos interiores a la circunferencia dada.

Ambos exteriores.

Uno en la circunferencia y el 2º interior.

Uno en la circunferencia y el 2º exterior.

Las soluciones máximas posibles serán dos y para resolverlo, aplicamos concepto de potencia con sus apartados: eje radical, haz coaxial, centro radical y también la propiedad de tangencia entre dos circunferencias cualesquiera, es decir, la recta que determinan sus centros, pasa por el punto de contacto o de tangencia.
NOTA: puedes mover A, B, variar el Radio...

Este problema es uno de los propuestos en la PAU ordinaria 2011, en Asturias.

Plano, en diédrico

El plano queda definido con 3 puntos no alineados o bien con dos rectas que se cortan. Como a su vez, dos puntos definen una recta, cuando hablamos de 3 puntos no alineados podemos estar hablando de dos rectas que tienen un punto en común. Es decir, para trabajar un plano hay que manejar la intersección de rectas. Si las rectas son paralelas... hay punto de intersección, aunque este es impropio, por lo que también definen plano.

En diédrico, el plano se dibuja con las rectas especiales de intersección del plano dado con los planos de proyección. Estas rectas, al estar contenidas en los planos de proyección tendrán una proyección coincidente con ellas mismas y se llaman trazas.

Traza horizontal, cuando corta al horizontal de proyección.

Traza vertical, cuando corta al vertical de proyección.

Ambas rectas, además, deben cortarse entre sí, para definir un plano, y siempre lo harán en la Línea de Tierra. En el caso de que una de ellas sea paralela a LT, la otra también lo será (punto impropio de intersección).
También se puede dar el caso de que el plano sea paralelo a alguno de los de proyección, entonces la traza o recta intersección será impropia.

La dificultad en diédrico para determinar un plano concreto está en cómo averiguar estas dos rectas traza a partir de otras rectas espaciales cualesquiera, que se corten, pertenecientes al plano. El problema se resuelve hallado los puntos traza de las rectas dadas como dato. Al ser los puntos traza puntos en los planos de proyección...

Si unimos puntos traza horizontales, obtendremos la recta traza horizontal.

Si unimos los traza verticales, la recta traza vertical.

Recta, en diédrio

Para situar una recta en el espacio necesitamos dos puntos de ella o bien 1 punto más la dirección de la recta.

En el sistema diédrico también se puede dibujar a partir de dos puntos, pero como sólo podemos situar los puntos a partir de sus proyecciones, situar la recta completa supone dibujar las proyecciones de cada punto que la forma y por lo tanto, de la recta.

La sucesión de proyecciones horizontales de puntos de la recta: proyección horizontal a' (planta)

La sucesión de proyecciones verticales de puntos de la recta: proyección vertical a'' (alzado)

En los casos especiales, en que los puntos estén en los planos de proyección, es cuando vemos lo espacial situado en la vista correspondiente. Los puntos traza son este tipo de puntos pues son el lugar geométrico de la intersección de la recta con el plano de proyección correspondiente.

Cuando a corta al plano vertical de proyección, traza Vertical V

Cuando a corta al horizontal de proyección, traza Horizontal H

Los puntos traza, a su vez, tienen proyección horizontal y vertical. Si bien suelen obviarse para evitar aglomeración de nomenclatura. Sin embargo, cuando se está aprendiendo el trazado diédrico conviene anotarlas, para evitar confusiones. Como V está en el plano vertical, su alejamiento del mismo es 0, por eso V' está en la LT. Como H está en el plano horizontal, su altura es 0, por eso H'' está en LT. Hallar los puntos traza es indagar dónde está la intersección de la proyección de la recta con la Línea de Tierra. En el caso de que la proyección sea paralela a la Línea de Tierra, entendemos que el punto intersección es impropio, por lo que sólo conoceremos la dirección donde se encuentra dicho punto.

NOTA: Puedes mover A y B para ver variar proyecciones de la recta y situación de trazas.

Cuando las proyecciones de la recta determinan ángulos especiales con la LT (paralelismo, perpendicularidad) o hay coincidencias de intersección con la misma, entonces estamos ante posiciones especiales de la recta.

Recuerda: para entender bien la recta hay que tener muy claro el punto. Y para comprender el plano, hay que dominar los conceptos de punto y recta.

Punto en diédrico

Un punto se puede situar en el espacio facilitando sus tres dimensiones, es decir A (x,y',z''). En el mundo bidimensional del sistema diédrico también es así, únicamente hay que tener en cuenta que los 2 planos de referencia -horizontal de proyección y vertical de proyección- se hacen coincidir en uno solo. Al convertirse en un plano único, se dificulta la visualización. Sin embargo es fácil aprender a deducir su posición espacial.

1º La dimensión x, el ancho. Sobre la Línea de Tierra (intersección de los dos planos de proyección, que son perpendiculares entre sí). Un punto 0 condiciona los valores negativos a su izquierda y los positivos a su derecha. Esta medida determinará la posición de la línea de referencia entre las proyecciones, perpendicular a LT.

2º La dimensión y, el alejamiento (profundidad en perspectiva) o distancia al plano vertical. Desde la Línea de Tierra (alejamiento 0) sobre la línea de referencia a trazos, perpendicular a LT, se miden los valores positivos bajo LT y los negativos por encima de LT. La proyección horizontal del punto (planta superior diédrica) se representa con una comita exponencial A'

3º La dimensión z, la altura o cota (altura en perspectiva) o distancia al plano horizontal. Desde la Línea de Tierra (altura 0) se medirán sobre la línea de referencia los valores positivos, por encima de LT y por debajo los valores negativos. La proyección vertical se representa con doble comita exponencial A''
NOTA: mueve puntos azules (coordenadas) para variar posición de A

El punto

Desde el punto de vista teórico y geométrico, el punto es la unidad mínima de ocupación espacial, y no tiene dimensiones. Desde el punto de vista artístico, el punto puede ser de distintos tamaños, formas, texturas, colores. Y a pesar de que en dibujo técnico le consideramos en su estado ideal (bastante abstracto), al dibujarlo siempre tendremos que ocupar un trocito de espacio, mediante algún tipo de trazo -cuya precisión dependerá de la técnica elegida-, este suele ser: dos líneas que se cortan, un círculo, una circunferencia.

Determinar un punto en el espacio es posible con la intersección de dos entes geométricos: dos líneas (no es necesario que sean rectas), una línea y un plano, una línea y una superficie volumétrica.

Pero para situar un punto, solitario, en el espacio precisamos tener 3 dimensiones que lo ubiquen en el mismo: x (ancho), y (profundidad), z (altura).
NOTA: Mueve puntos azules para variar posiciónes
Punto en diédrico: coordenadas

Punto en perspectiva: coordenadas

Estas serán las dimensiones que manejaremos en cualquier perspectiva y en el sistema diédrico. Si bien en este último caso, se suele estudiar atendiendo principalmente a 2 dimensiones: y (alejamiento = profundidad), z (cota = altura), para determinar posiciones en cuadrantes o en planos de proyección.

No está demás recordar, que tanto en sistema diédrico como en perspectiva estamos dibujando en 2D, siendo la 3ª dimensión un producto más mental que real, siendo totalmente imaginario en el sistema diédrico, y simulado en el caso de las perspectivas.

Otro aspecto del punto que debemos tener en cuenta es cómo se le llama o denomina, pues su nomenclatura es la letra mayúscula: A, B, C... Algunos puntos suelen llevar una letra concreta, por ejemplo: Q el centro de una circunferencia, M el punto medio, P un punto cualquiera, ABC los vértices de un triángulo, etc.

La aplicación más interesante del punto es la definición de los distintos entes geométricos: sucesión de puntos (línea), extensión de puntos (plano), lugar geométrico de los puntos del plano (cualquier definición en dibujo), vértices de figuras planas o volumétricas. Por eso, sabiendo dibujar puntos podemos aprender a dibujar cualquier forma, dado que cualquier forma la podemos reducir a un conjunto de puntos. Si bien cada conjunto responderá a alguna propiedad que los agrupe y el conocimiento de estas relaciones nos permitirá dibujar mejor y con mayor precisión, tanto si trabajamos en dibujo técnico como en artístico (ejes, simetrías, proporción, paralelismo, perpendicularidad, etc).