Triángulo dadas las medianas

Para solucionar este caso debemos tener en cuenta la propiedad del baricentro relativa a las distancias constantes con lados y vértices medidas sobre las medianas: 1/3 de la mediana desde el baricentro hasta el punto medio del lado y 2/3 hasta el vértice. Si dibujamos un triángulo con los lados igual a los 2/3 de cada mediana, podemos reconstruir el triángulo completo. Previamente podemos ver la relación entre ambos triángulos, para después resolver el problema, paso a paso.

RESOLUCIÓN

1º Se construye el triángulo (A Baricentro Baricentro’), conocidos los lados –con el compás-, con 2/3 de cada mediana.

2º Obtenemos el vértice C prolongando la recta Baricentro’ Baricentro que cortará a la circunferencia de centro Baricentro y R= 2/3 mc.

3º Hallamos el punto Medio Mc, con la mediatriz del lado Baricentro’ Baricentro. Este punto también será el Medio del lado c.

4º Obtenemos el vértice B. Se traza semirrecta desde A por Mc y la circunferencia que la corta de centro Mc y R= AMc nos da el punto buscado.

5º Dibujamos el triángulo.

Polígonos y circunferencias

Los triángulos son todos inscriptibles en una circunferencia, siendo su trazado sencillo pues se trata de la circunferencia circunscrita, de centro el punto notable circuncentro y de radio la distancia a cualquier vértice.

Todos los polígonos regulares convexos también son inscriptibles (para estrellados inscriptibles, se refiere a los vértices convexos). Hallar dicha circunferencia supone trazar dos mediatrices, las correspondientes a dos lados cualesquiera, para situar el centro (en estrellados, la cuerda de los lados). Lógicamente el radio será la distancia del centro a cualquier vértice.
En el caso de los cuadriláteros irregulares, serán inscriptibles aquellos que tengan 2 de sus ángulos opuestos suplementarios entre sí, es decir, que sumen 180º.

Todo polígono regular convexo tiene circunferencia inscrita. Todo triángulo también, pues todos tienen circunferencia inscrita, cuyo centro es el punto notable incentro -hallado trazando dos bisectrices-, y el radio la distancia a cualquier lado (perpendicular desde el centro). En los polígonos regulares, como coincide la intersección de las rectas notables mediatriz y bisectriz, las circunferencias circunscrita e inscrita al polígono son concéntricas y la diferencia de radio es la distancia al vértice o al lado, según el caso.

En cuanto tratamos con polígonos irregulares tenemos unos que son inscriptibles en circunferencia y otros que no, por lo que podemos hacer otra clasificación de polígonos según este criterio.

Dado un polígono cualquiera, podemos determinar si es inscriptible a partir de dos mediatrices, de dos lados cualesquiera. Si obtenemos una circunferencia circunscrita válida para esos lados y para el resto, es inscriptible, en caso contrario no lo es.

Circunferencias circunscrita e inscrita en polígonos

Guada, 2012

Actualizado en 2020

El Dibujo Técnico

Cuando hablamos del Dibujo Técnico nos podemos estar refiriendo a un tipo de Dibujo y también a la enseñanza del mismo. En cualquier caso, incluimos la precisión en el concepto de dibujar. Esta precisión generalmente se conseguirá midiendo y trazando con instrumental de precisión, aunque también se considera el croquis a mano alzada y por tanto la medición "a ojo" y el trazado a mano alzada. Por ello, distinguir entre dibujante técnico y artístico depende más bien del punto de vista, de la intencionalidad en el dibujo. El técnico se apoya principalmente en la precisión y coherencia geométricas, el artista sin embargo puede variar sus prioridades. El estudio previo en el primer caso se llamará croquis mientras que en el segundo se designará boceto. Para el trabajo final la diferencia suele estar en el tipo de obra: diseño por un lado, obra plástica por otro.
Un buen dibujante podrá dominar mejor el trazado si conoce las posibilidades técnicas y artísticas de la línea, además de practicar el dibujo tanto  con instrumentos de precisión como a ojo y a mano alzada.
Si el artista domina perspectivas, podrá aplicarlas formalmente o bien adaptarlas para crear sensaciones espaciales diferentes. En este sentido podemos comparar espacios pictóricos diversos, desde el académico hasta otros más sugerentes. Véanse de Rafael la Escuela de Atenas y después... Giorgio de Chirico El doble sueño de primavera, Dalí Amantes pacientes, Magritte La condición humana, Vasarely Boo, Yturralde Sin tíltulo

Si el autor toma como base compositiva la geometría, transmitirá una estética meditada. Esta puede estar disimulada e incluso oculta al espectador, pero un análisis formal puede descubrir sus "secretos geométricos" de simetría (Antonio López: Aparador. Figuras en una casa), paralelismo (Edvard Munch: La voz), oblicuidad (Botticeli: La Primavera), triangularidad (Gustav Klimt: Retrato de frieda Reidler), curvatura (Mihelangelo Buonarroti: David y Goliat), proporción áurea (Leonardo da Vinci: La Gioconda), formas tangenciales (Tolouse-Lautrec: Divan Japonais)...
En otras ocasiones, la geometría será única protagonista, impresionando al espectador con su rigor y motivando una nueva reflexión del espacio creativo. Piet Mondrian Composición con Rojo, Amarillo y Azul, Theo van Doesburg Composición XV, Malevich Círculo, Paul Klee Ad Parnassum, Wassily Kandinsky Alegre ascensión, Miró Construcción, Tapies Alaya, Francis Picabia Paroxismo del dolor, Yturralde y su Serie cubos
Cuando utiliza la geometría menos precisa, nos lleva a un mundo más infantil, lúdico, irreal. Véanse por ejemplo: Mompó Personajes jugando con un muro de aire, Miró Bañista, Henri Rousseau Vista de Malakof, Picasso La paloma con guisantes, Léger Soldado con una pipa, Braque El emigrante, Georgia O'keeffe Colina roja y concha blanca, Calder Nenúfares rojos
Si pretendemos un punto de vista de dibujante puramente técnico, e ignoramos las posibilidades expresivas, disminuimos las posibilidades de diseño, de resolución, de ingenio. Desde la Escuela de la Bauhaus (1919-1933) los puntos de vista técnico y artístico se fundieron para elevar el diseño a la categoría de Arte.  Profesionales de distintas ramas investigaron formas y colores desarrollando estéticas funcionales novedosas que aplicaron a sus diseños, todavía admirados hoy en día. Ciertas sillas diseñadas en la época todavía se reproducen industrialmente siguiendo el modelo original. La revolución creada se mantiene en nuestros días, en los mejores productos: funcional, reproducible industrialmente, novedoso y estético. Siendo todos estos aspectos igualmente importantes en el objeto diseñado.
Situándonos en un nivel mucho más asequible, el dibujo artístico puede ayudar en la comprensión del técnico, y a la inversa. Los bocetos a mano alzada, de los problemas, con la supuesta resolución permiten descubrir relaciones geométricas que encaminan vías de resolución. Promoviendo la mejora de la visión espacial, al tratar el caso en conjunto. El dibujante artístico, por su lado, si es capaz de reconocer estructuras geométricas y proporción en las formas orgánicas o inorgánicas, tendrá mayor facilidad para comprenderlas, reproducirlas, recordarlas, sugerirlas, combinarlas, variarlas...
Desde el punto hasta el espacio, siempre tendremos que tener en cuenta en qué sistema estaremos representado, con qué lo vamos a trazar y para qué lo vamos a dibujar.

Guada, profesora del Departamento

Triángulo dadas altura, mediana y bisectriz desde el mismo vértice

Este problema es uno de los propuestos en un examen para la PAU de Dibujo Técnico de Oviedo.

Para hacer esta construcción recordaremos que la mediatriz de cualquier cuerda, en una circunferencia, pasa por su centro.

Y analizaremos previamente las relaciones de las rectas dadas y de los lados respecto de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Los lados del triángulo son cuerdas de la Circunferencia Circunscrita.

La bisectriz, mediana y altura, al prolongarlas, también determinan cuerdas en esta circunferencia.

La mediatriz de un lado se corta con la bisectriz del ángulo opuesto, en la Circunferencia Circunscrita (punto E). Como ambas rectas determinan cuerdas de esta circunferencia, la mediatriz de la cuerda bisectriz también pasa por el centro.

Por tanto, podemos trazar la circunferencia circunscrita y, con ella, resolver el problema.

RESOLUCIÓN

1º Situamos el punto vértice A y medimos el segmento altura dado hA

2º Como el lado a debe ser perpendicular a la altura dada, dibujamos la recta perpendicular en el punto Ha.

3º Para la mediana, trazamos una circunferencia con centro A y R= mA. Elegimos una de las dos intersecciones con la recta como punto medio Ma y trazamos la perpendicular en ese punto, pues será la mediatriz del lado a. También podemos dibujar la mediana AMa

4º Para la bisectriz, trazamos circunferencia de centro A y R= bA, elegimos la intersección próxima a la anterior para punto Ba. Y prolongamos hasta que corte a la mediatriz de a. Tenemos el punto F.

5º Trazamos la mediatriz de la cuerda bisectriz AE, que al cortar a la 1ª mediatriz determinará la posición del centro Qc de la Circunferencia Circunscrita. Se dibujará con centro en este punto y radio QcA. Si está bien trazado, la circunferencia también pasará por E.

6º La intersección de la recta a con la circunferencia dibuja el lado a y las posiciones de los vértices B y C.

7º Se traza el triángulo.

Construcción de cuadrado

Recordemos que en general precisamos de 2n-3 datos para determinar un polígono, suponiendo como n el nº de lados. En la construcción del cuadrado necesitamos simplemente determinar su tamaño con un dato, dado que su nombre contiene gran cantidad de información:

El cuadrado tiene 4 lados.

Los lados son iguales.

Los lados opuestos son paralelos.

Los lados contiguos con perpendiculares.

Las diagonales son iguales.

Las diagonales son perpendiculares entre sí.

La diagonal parte al cuadrado en dos triángulos escuadra iguales, lo que la relaciona con la semicircunferencia y el arco capaz de 90º.

El cuadrado es inscriptible en una circunferencia, dividiéndola en 4 partes iguales.

El cuadrado puede circunscribir una circunferencia y sus puntos de tangencia determinan las diagonales como diámetro.

Todos los cuadrados son semejantes.

Además tenemos propiedades como la suma de diagonal+lado y la diferencia de diagonal-lado.

La mayoría de los problemas solicitando la construcción de cuadrados se resuelven aplicando proporción y homotecia. Y como en muchos casos del dibujo técnico, puede haber más de un camino para obtener la solución.

Por ejemplo, si tenemos como dato diagonal+lado y no recordamos la propiedad podemos resolver aplicando homotecia.