Triángulo dadas altura, mediana y bisectriz desde el mismo vértice

Este problema es uno de los propuestos en un examen para la PAU de Dibujo Técnico de Oviedo.

Para hacer esta construcción recordaremos que la mediatriz de cualquier cuerda, en una circunferencia, pasa por su centro.

Y analizaremos previamente las relaciones de las rectas dadas y de los lados respecto de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Los lados del triángulo son cuerdas de la Circunferencia Circunscrita.

La bisectriz, mediana y altura, al prolongarlas, también determinan cuerdas en esta circunferencia.

La mediatriz de un lado se corta con la bisectriz del ángulo opuesto, en la Circunferencia Circunscrita (punto E). Como ambas rectas determinan cuerdas de esta circunferencia, la mediatriz de la cuerda bisectriz también pasa por el centro.

Por tanto, podemos trazar la circunferencia circunscrita y, con ella, resolver el problema.

RESOLUCIÓN

1º Situamos el punto vértice A y medimos el segmento altura dado hA

2º Como el lado a debe ser perpendicular a la altura dada, dibujamos la recta perpendicular en el punto Ha.

3º Para la mediana, trazamos una circunferencia con centro A y R= mA. Elegimos una de las dos intersecciones con la recta como punto medio Ma y trazamos la perpendicular en ese punto, pues será la mediatriz del lado a. También podemos dibujar la mediana AMa

4º Para la bisectriz, trazamos circunferencia de centro A y R= bA, elegimos la intersección próxima a la anterior para punto Ba. Y prolongamos hasta que corte a la mediatriz de a. Tenemos el punto F.

5º Trazamos la mediatriz de la cuerda bisectriz AE, que al cortar a la 1ª mediatriz determinará la posición del centro Qc de la Circunferencia Circunscrita. Se dibujará con centro en este punto y radio QcA. Si está bien trazado, la circunferencia también pasará por E.

6º La intersección de la recta a con la circunferencia dibuja el lado a y las posiciones de los vértices B y C.

7º Se traza el triángulo.