domingo, 25 de noviembre de 2012

Polígonos y circunferencias

Los triángulos son todos inscriptibles en una circunferencia, siendo su trazado sencillo pues se trata de la circunferencia circunscrita, de centro el punto notable circuncentro y de radio la distancia a cualquier vértice.
Todos los polígonos regulares convexos también son inscriptibles (para estrellados inscriptibles, se refiere a los vértices convexos). Hallar dicha circunferencia supone trazar dos mediatrices, las correspondientes a dos lados cualesquiera, para situar el centro (en estrellados, la cuerda de los lados). Lógicamente el radio será la distancia del centro a cualquier vértice.
En el caso de los cuadriláteros irregulares, serán inscriptibles aquellos que tengan 2 de sus ángulos opuestos suplementarios entre sí, es decir, que sumen 180º.
Todo polígono regular convexo tiene circunferencia inscrita. Todo triángulo también, pues todos tienen circunferencia inscrita, cuyo centro es el punto notable incentro -hallado trazando dos bisectrices-, y el radio la distancia a cualquier lado (perpendicular desde el centro). En los polígonos regulares, como coincide la intersección de las rectas notables mediatriz y bisectriz, las circunferencias circunscrita e inscrita al polígono son concéntricas y la diferencia de radio es la distancia al vértice o al lado, según el caso.
En cuanto tratamos con polígonos irregulares tenemos unos que son inscriptibles en circunferencia y otros que no, por lo que podemos hacer otra clasificación de polígonos según este criterio.
Dado un polígono cualquiera, podemos determinar si es inscriptible a partir de dos mediatrices, de dos lados cualesquiera. Si obtenemos una circunferencia circunscrita válida para esos lados y para el resto, es inscriptible, en caso contrario no lo es.
circunscrita e inscrita en triángulo - GeoGebra Hoja Dinámica

circunscrita e inscrita en triángulo

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Guada, Creación realizada con GeoGebra

circunscrita e inscrita en polígonos

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Guada, Creación realizada con GeoGebra

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