Triángulo dados los lados

Si conocemos los 3 lados del triángulo es muy fácil construirlo, utilizando regla y compás.

1º Se sitúa el lado a sobre una recta.

2º En su extremo derecho, se centra una circunferencia de R= lado b.

3º En su extremo izquierdo, se centra una circunferencia de R= lado c. La intersección entre ambas determina un vértice válido para el triángulo. Si no hay intersección, no hay triángulo.

4º Se sitúa correctamente la nomenclatura. Orden dextrógiro, lado y vértice opuestos de igual nombre.

CONDICIONES DE EXISTENCIA DE UN TRIÁNGULO:

La suma de dos lados del triángulo es mayor que la medida del tercer lado. La resta de dos lados del triángulo es menor que la medida del tercer lado.

Triángulo dados los lados

Triángulo dadas las medianas

Para solucionar este caso debemos tener en cuenta la propiedad del baricentro relativa a las distancias constantes con lados y vértices medidas sobre las medianas: 1/3 de la mediana desde el baricentro hasta el punto medio del lado y 2/3 hasta el vértice. Si dibujamos un triángulo con los lados igual a los 2/3 de cada mediana, podemos reconstruir el triángulo completo. Previamente podemos ver la relación entre ambos triángulos, para después resolver el problema, paso a paso.

RESOLUCIÓN

1º Se construye el triángulo (A Baricentro Baricentro’), conocidos los lados –con el compás-, con 2/3 de cada mediana.

2º Obtenemos el vértice C prolongando la recta Baricentro’ Baricentro que cortará a la circunferencia de centro Baricentro y R= 2/3 mc.

3º Hallamos el punto Medio Mc, con la mediatriz del lado Baricentro’ Baricentro. Este punto también será el Medio del lado c.

4º Obtenemos el vértice B. Se traza semirrecta desde A por Mc y la circunferencia que la corta de centro Mc y R= AMc nos da el punto buscado.

5º Dibujamos el triángulo.

Polígonos y circunferencias

Los triángulos son todos inscriptibles en una circunferencia, siendo su trazado sencillo pues se trata de la circunferencia circunscrita, de centro el punto notable circuncentro y de radio la distancia a cualquier vértice.

Todos los polígonos regulares convexos también son inscriptibles (para estrellados inscriptibles, se refiere a los vértices convexos). Hallar dicha circunferencia supone trazar dos mediatrices, las correspondientes a dos lados cualesquiera, para situar el centro (en estrellados, la cuerda de los lados). Lógicamente el radio será la distancia del centro a cualquier vértice.
En el caso de los cuadriláteros irregulares, serán inscriptibles aquellos que tengan 2 de sus ángulos opuestos suplementarios entre sí, es decir, que sumen 180º.

Todo polígono regular convexo tiene circunferencia inscrita. Todo triángulo también, pues todos tienen circunferencia inscrita, cuyo centro es el punto notable incentro -hallado trazando dos bisectrices-, y el radio la distancia a cualquier lado (perpendicular desde el centro). En los polígonos regulares, como coincide la intersección de las rectas notables mediatriz y bisectriz, las circunferencias circunscrita e inscrita al polígono son concéntricas y la diferencia de radio es la distancia al vértice o al lado, según el caso.

En cuanto tratamos con polígonos irregulares tenemos unos que son inscriptibles en circunferencia y otros que no, por lo que podemos hacer otra clasificación de polígonos según este criterio.

Dado un polígono cualquiera, podemos determinar si es inscriptible a partir de dos mediatrices, de dos lados cualesquiera. Si obtenemos una circunferencia circunscrita válida para esos lados y para el resto, es inscriptible, en caso contrario no lo es.

Circunferencias circunscrita e inscrita en polígonos

Guada, 2012

Actualizado en 2020

El Dibujo Técnico

Cuando hablamos del Dibujo Técnico nos podemos estar refiriendo a un tipo de Dibujo y también a la enseñanza del mismo. En cualquier caso, incluimos la precisión en el concepto de dibujar. Esta precisión generalmente se conseguirá midiendo y trazando con instrumental de precisión, aunque también se considera el croquis a mano alzada y por tanto la medición "a ojo" y el trazado a mano alzada. Por ello, distinguir entre dibujante técnico y artístico depende más bien del punto de vista, de la intencionalidad en el dibujo. El técnico se apoya principalmente en la precisión y coherencia geométricas, el artista sin embargo puede variar sus prioridades. El estudio previo en el primer caso se llamará croquis mientras que en el segundo se designará boceto. Para el trabajo final la diferencia suele estar en el tipo de obra: diseño por un lado, obra plástica por otro.
Un buen dibujante podrá dominar mejor el trazado si conoce las posibilidades técnicas y artísticas de la línea, además de practicar el dibujo tanto  con instrumentos de precisión como a ojo y a mano alzada.
Si el artista domina perspectivas, podrá aplicarlas formalmente o bien adaptarlas para crear sensaciones espaciales diferentes. En este sentido podemos comparar espacios pictóricos diversos, desde el académico hasta otros más sugerentes. Véanse de Rafael la Escuela de Atenas y después... Giorgio de Chirico El doble sueño de primavera, Dalí Amantes pacientes, Magritte La condición humana, Vasarely Boo, Yturralde Sin tíltulo

Si el autor toma como base compositiva la geometría, transmitirá una estética meditada. Esta puede estar disimulada e incluso oculta al espectador, pero un análisis formal puede descubrir sus "secretos geométricos" de simetría (Antonio López: Aparador. Figuras en una casa), paralelismo (Edvard Munch: La voz), oblicuidad (Botticeli: La Primavera), triangularidad (Gustav Klimt: Retrato de frieda Reidler), curvatura (Mihelangelo Buonarroti: David y Goliat), proporción áurea (Leonardo da Vinci: La Gioconda), formas tangenciales (Tolouse-Lautrec: Divan Japonais)...
En otras ocasiones, la geometría será única protagonista, impresionando al espectador con su rigor y motivando una nueva reflexión del espacio creativo. Piet Mondrian Composición con Rojo, Amarillo y Azul, Theo van Doesburg Composición XV, Malevich Círculo, Paul Klee Ad Parnassum, Wassily Kandinsky Alegre ascensión, Miró Construcción, Tapies Alaya, Francis Picabia Paroxismo del dolor, Yturralde y su Serie cubos
Cuando utiliza la geometría menos precisa, nos lleva a un mundo más infantil, lúdico, irreal. Véanse por ejemplo: Mompó Personajes jugando con un muro de aire, Miró Bañista, Henri Rousseau Vista de Malakof, Picasso La paloma con guisantes, Léger Soldado con una pipa, Braque El emigrante, Georgia O'keeffe Colina roja y concha blanca, Calder Nenúfares rojos
Si pretendemos un punto de vista de dibujante puramente técnico, e ignoramos las posibilidades expresivas, disminuimos las posibilidades de diseño, de resolución, de ingenio. Desde la Escuela de la Bauhaus (1919-1933) los puntos de vista técnico y artístico se fundieron para elevar el diseño a la categoría de Arte.  Profesionales de distintas ramas investigaron formas y colores desarrollando estéticas funcionales novedosas que aplicaron a sus diseños, todavía admirados hoy en día. Ciertas sillas diseñadas en la época todavía se reproducen industrialmente siguiendo el modelo original. La revolución creada se mantiene en nuestros días, en los mejores productos: funcional, reproducible industrialmente, novedoso y estético. Siendo todos estos aspectos igualmente importantes en el objeto diseñado.
Situándonos en un nivel mucho más asequible, el dibujo artístico puede ayudar en la comprensión del técnico, y a la inversa. Los bocetos a mano alzada, de los problemas, con la supuesta resolución permiten descubrir relaciones geométricas que encaminan vías de resolución. Promoviendo la mejora de la visión espacial, al tratar el caso en conjunto. El dibujante artístico, por su lado, si es capaz de reconocer estructuras geométricas y proporción en las formas orgánicas o inorgánicas, tendrá mayor facilidad para comprenderlas, reproducirlas, recordarlas, sugerirlas, combinarlas, variarlas...
Desde el punto hasta el espacio, siempre tendremos que tener en cuenta en qué sistema estaremos representado, con qué lo vamos a trazar y para qué lo vamos a dibujar.

Guada, profesora del Departamento

Triángulo dadas altura, mediana y bisectriz desde el mismo vértice

Este problema es uno de los propuestos en un examen para la PAU de Dibujo Técnico de Oviedo.

Para hacer esta construcción recordaremos que la mediatriz de cualquier cuerda, en una circunferencia, pasa por su centro.

Y analizaremos previamente las relaciones de las rectas dadas y de los lados respecto de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Los lados del triángulo son cuerdas de la Circunferencia Circunscrita.

La bisectriz, mediana y altura, al prolongarlas, también determinan cuerdas en esta circunferencia.

La mediatriz de un lado se corta con la bisectriz del ángulo opuesto, en la Circunferencia Circunscrita (punto E). Como ambas rectas determinan cuerdas de esta circunferencia, la mediatriz de la cuerda bisectriz también pasa por el centro.

Por tanto, podemos trazar la circunferencia circunscrita y, con ella, resolver el problema.

RESOLUCIÓN

1º Situamos el punto vértice A y medimos el segmento altura dado hA

2º Como el lado a debe ser perpendicular a la altura dada, dibujamos la recta perpendicular en el punto Ha.

3º Para la mediana, trazamos una circunferencia con centro A y R= mA. Elegimos una de las dos intersecciones con la recta como punto medio Ma y trazamos la perpendicular en ese punto, pues será la mediatriz del lado a. También podemos dibujar la mediana AMa

4º Para la bisectriz, trazamos circunferencia de centro A y R= bA, elegimos la intersección próxima a la anterior para punto Ba. Y prolongamos hasta que corte a la mediatriz de a. Tenemos el punto F.

5º Trazamos la mediatriz de la cuerda bisectriz AE, que al cortar a la 1ª mediatriz determinará la posición del centro Qc de la Circunferencia Circunscrita. Se dibujará con centro en este punto y radio QcA. Si está bien trazado, la circunferencia también pasará por E.

6º La intersección de la recta a con la circunferencia dibuja el lado a y las posiciones de los vértices B y C.

7º Se traza el triángulo.

Construcción de cuadrado

Recordemos que en general precisamos de 2n-3 datos para determinar un polígono, suponiendo como n el nº de lados. En la construcción del cuadrado necesitamos simplemente determinar su tamaño con un dato, dado que su nombre contiene gran cantidad de información:

El cuadrado tiene 4 lados.

Los lados son iguales.

Los lados opuestos son paralelos.

Los lados contiguos con perpendiculares.

Las diagonales son iguales.

Las diagonales son perpendiculares entre sí.

La diagonal parte al cuadrado en dos triángulos escuadra iguales, lo que la relaciona con la semicircunferencia y el arco capaz de 90º.

El cuadrado es inscriptible en una circunferencia, dividiéndola en 4 partes iguales.

El cuadrado puede circunscribir una circunferencia y sus puntos de tangencia determinan las diagonales como diámetro.

Todos los cuadrados son semejantes.

Además tenemos propiedades como la suma de diagonal+lado y la diferencia de diagonal-lado.

La mayoría de los problemas solicitando la construcción de cuadrados se resuelven aplicando proporción y homotecia. Y como en muchos casos del dibujo técnico, puede haber más de un camino para obtener la solución.

Por ejemplo, si tenemos como dato diagonal+lado y no recordamos la propiedad podemos resolver aplicando homotecia.

Escuadra y cartabón: paralelas y perpendiculares

Para dibujar rectas paralelas o perpendiculares siempre partiremos de una dirección que vendrá determinada por una recta -aunque esta sea el borde del soporte-.

1º Se sitúa la hipotenusa de la escuadra sobre dicha recta. En este lado será donde tracemos, es el lado más largo de esta plantilla y por lo tanto nos dará un dibujado más extenso de la línea.

2º Se apoya el cartabón. También elegimos el lado largo, pues se deslizará en él la escuadra y así tendrá mayor recorrido que si elegimos un cateto -permite dibujar rectas más separadas de la dada-.

Se puede ensayar la colocación de las plantillas en el ejemplo de GeoGebra.

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Escuadra y cartabón, posición básica

Para trazar paralelas a partir de la posición básica, simplemente tenemos que deslizar la escuadra hasta encontrar la situación requerida, en la hipotenusa de la escuadra, generalmente a una distancia concreta o por un punto específico.
En el ejemplo, se puede comprobar cómo se debe deslizar la escuadra (en la dirección roja).
Escuadra y cartabón, paralela

Para dibujar perpendiculares, se parte también de la posición básica. Pero después se gira la escuadra.
El apoyo sobre el cartabón pasa de un cateto al otro, pues ambos determinan el ángulo de 90º que se quiere formar con la recta dada. Posteriormente se puede deslizar la escuadra, hasta encontrar la posición deseada.
Escuadra y cartabón, perpendiculares

Escuadra y cartabón: una unidad

Para comprobar si forman parte del mismo juego, pues las hay de distintos tamaños, se comprueba que sean de igual medida la hipotenusa de la escuadra y el cateto mayor del cartabón.

El tamaño del juego dependerá de la longitud de trazado necesaria (ver hipotenusa de escuadra) y de la mesa de trabajo. El soporte -papel generalmente- se puede fijar al tablero para trabajar con un tamaño mayor y con más comodidad.
Ver más en EPV Escuadra y Cartabón.

El juego de escuadra y cartabón

Homología y cónica de 2 fugas

Consideramos una homología, donde los planos en los que están las figuras homológicas, son: Uno, la proyección horizontal en diédrico –es decir, la planta- y el otro, la perspectiva cónica. Entonces podemos hallar la representación en perspectiva cónica de dos fugas a partir de la planta de una figura.

El eje es la línea de tierra o intersección de los dos planos (donde se puede medir en verdadera magnitud).

El centro de homología es el punto de vista del observador V. La distancia de V a la RL es la distancia del observador  al plano del cuadro o rayo principal VP.

La recta límite RL es la Línea de Horizonte LH, es decir, la altura del observador.

Los puntos de fuga se sitúan en la RL, teniendo en cuenta que determinarán con V un arco capaz de 90 grados.

En el ejemplo se parte de la planta del cuadrado A’B’C’D’, apoyado en el suelo para construir su figura homóloga.

Finalmente, se halla un punto métrico M2 con el que se comprueba la medida del lado real B’C’ de la planta en las posiciones de su lado homólogo BC.

NOTA: En la perspectiva cónica la deformación puede resultar excesiva, aún siendo coherente la homología. Si la figura escapa del espacio ideal de visualización formado por el cono de la radiación desde V con ángulo de 60º frente al plano del cuadro. Este cono recto tiene como eje VP o rayo principal –el punto P es la intersección de la radiación desde V perpendicular al plano del cuadro-.

Afinidad

La afinidad es un caso especial de homología donde el centro de "homología" es impropio. Esto tiene dos consecuencias inmediatas:

1ª  La radiación es una dirección, es decir, las sucesivas rectas que alinean los pares de puntos afines -antes homólogos- al converger en el infinito se convierten en paralelas.

2ª No existen rectas límite.

Esta simplificación, no elimina las relaciones homológicas (ahora afines) entre los puntos, las rectas, las figuras afines. El eje de afinidad sigue siendo el lugar geométrico donde se sitúan los puntos dobles. Y el centro de afinidad, aunque impropio, donde "se cortan" las rectas que alinean los pares de puntos afines.

Aplicación de la afinidad

Hay un caso especial de afinidad, cuando la dirección d es perpendicular al eje, llamado afinidad ortogonal que se puede aplicar en el abatimiento sobre plano de proyección, del sistema diédrico.

La 1ª figura sería la proyección sobre el plano (Planta, si es sobre el horizontal. Alzado, si es sobre el vertical). La 2ª figura sería la figura abatida sobre el plano. El eje de afinidad, la charnela (intersección entre el plano de proyección y el plano que contiene a la figura en el espacio). La dirección, perpendicular al eje o charnela. Puedes ver ejemplo aquí: Polígono sobre plano, en diédrico

Circunferencias de =R tangentes a circunferencia

El nº de circunferencias que nos pidan afecta únicamente a la 1ª parte del método. En ella se trata de relacionar el nº de circunferencias con la cantidad de divisiones de igual tamaño que hay que hacer en la circunferencia dada. Esto se consigue con los polígonos regulares. Tanto si queremos dibujar las soluciones tangentes interiores como exteriores, necesitaremos un polígono regular circunscrito, pues cada punto de tangencia entre circunferencia dada y polígono, será a su vez el punto de contacto con la solución.

En otros artículos hemos comentado cómo dividir circunferencia en partes iguales, por lo que aquí obviaremos el tema.

Si suponemos 6 circunferencias de igual radio, tenemos que trabajar con el hexágono regular circunscrito a la circunferencia. Si suponemos 5 circunferencias, trabajaremos con el pentágono regular circunscrito. Analizaremos caso exteriores a la circunferencia dato.
La mediatriz de cada lado del polígono (empezamos en AB) determina el punto de Tangencia T común a la circunferencia dada, a una solución y al polígono circunscrito.
Los radios, por los vértices del polígono, dividen en las partes iguales necesarias para cada solución.
La bisectriz del ángulo en A, de lados AB y radio por A, al cortar a la mediatriz determina el primer centro solución Q1, así como su radio R= Q1T.
Las demás circunferencias se pueden hallar de igual manera o aplicando relaciones de simetría radial.

Si buscamos relaciones a partir del caso circunferencias interiores a una circunferencia comprobamos que se actuaría de similar manera.
Debemos recordar siempre que los polígonos regulares permiten divisiones iguales en la circunferencia, y a la inversa, las divisiones iguales en la circunferencia permiten la construcción de polígonos regulares.

La tangencia entre rectas y circunferencia implica simetría, pues si dos rectas se cortan, el centro de la circunferencia tangente a ambas está siempre en la bisectriz del ángulo que forman las rectas dadas. Si hablamos del triángulo, el punto notable incentro (intersección de bisectrices) nos da el centro de la circunferencia inscrita. Y la distancia a cualquier lado tangente, el radio de la circunferencia (equidistancia).

Además, se deben tener presentes las propiedades que se cumplen:

• t y circunferencia: el R es perpendicular a t, en T
• circunferencia tangente a circunferencia: los centros se alinean con T

Circunferencia equipotencial

Es la circunferencia formada por puntos que determinan el valor equipotencial de un punto (su centro) respecto de otras circunferencias. Su centro es un punto equipotencial (en eje radical), su radio representa la potencia, y el cuadrado del radio el valor de ella.

Dependiendo de la posición del centro de la circunferencia equipotencial, el radio tendrá distinta relación con las circunferencias dadas:

1) Centro interior: R= altura (perpendicular a la hipotenusa en Cr) del triángulo rectángulo. Hipotenusa = diámetro, de la circunferencia considerada, que pasa por Cr.

2) Centro exterior: R= tangente desde Cr (cateto de triángulo rectángulo, donde la hipotenusa une el Cr con el centro de circunferencia considerada).

3) Centro en circunferencia. R= 0 y la circunferencia equipotencial es un punto, el de contacto entre las circunferencias consideradas (tangentes o secantes)

CENTRO RADICAL INTERIOR

CENTRO RADICAL EXTERIOR

Triángulo autopolar

Es el triángulo que se relaciona mediante la polaridad con una circunferencia de manera que cada vértice es polo del lado opuesto que será polar, respecto de la circunferencia. Más información sobre polaridad.
Si partimos de un polo como vértice del triángulo, en la polar correspondiente deberemos seleccionar los otros dos vértices. Sus polares respectivas pasarán por el polo inicial.
Para trazar las polares se dibujan las tangentes desde los polos a la circunferencia. Los puntos de tangencia determinan las rectas polares.

Polaridad

Es una relación espacial entre punto, recta y circunferencia donde la separación entre los entes considerados dibujan segmentos en división armónica (razón doble = -1). Los 4 puntos que demuestran la razón están alineados (recta r): dos son fijos y determinan el diámetro de la circunferencia, los otros dos son el Polo, y la intersección entre la recta polar con la recta donde se alinean.

Propiedades de la recta polar:

• Es perpendicular a la recta definida por el Polo y el centro de la Circunferencia.
• Cualquier punto de la polar formará una cuaterna armónica con respecto a la circunferencia, es decir, la recta polar está formada por alineación de puntos Polo -sucesión de cuaternas armónicas-.
• La relación Polo y polar también se da invertida, es decir, si tenemos un punto P como polo, y una polar p, por P pasará una polar p2 y en la intersección de p con la línea al centro tendremos su respectivo Polo P2.
• Cuando corta a la circunferencia, pasa por los puntos de tangencia de las tangentes trazadas desde el Polo.
• Si el Polo está en la circunferencia, la polar es la tangente en ese punto.
• Si el Polo está en el centro de la circunferencia, la polar es impropia.
• Si la polar pasa por el centro de la circunferencia, el Polo es impropio.

Aplicaciones en la resolución de problemas como:

Cuaterna armónica.

Homología de la circunferencia.

Problema de Apolonio (circunferencias tangentes a 3 circunferencias dadas).