Homología

La homología es una relación bidimensional entre dos planos distintos. Se crea una correspondencia de puntos entre la 1ª figura (de un plano) y la 2ª (del otro plano), y no sólo de sus vértices, pues también se trata de una correspondencia entre rectas y por tanto de cada punto.

Dos puntos que se corresponden son homólogos, dos rectas que se corresponden son homólogas, dos figuras cualesquiera que se corresponden son homólogas.

Los elementos de la homología son los siguientes:

Centro de homología, es un punto que se alinea con cada par de puntos homólogos. Estas líneas se llaman radiación y por ello al centro también se le denomina Vértice de la radiación (se dibujan a trazos). El centro de homología es un punto doble, es decir si un punto está en esta posición, su homólogo también.

Eje de homología, es una recta (intersección entre los planos que contienen a las figuras) en la que se cortan los pares de rectas homólogas, por ello, cualquier punto del eje es doble por pertenecer a los dos planos, dado que es su intersección.

Rectas límite. Son las rectas donde se sitúan los puntos de un plano, homólogos de los impropios del otro plano. Se sitúan paralelas al eje y la distancia de una (RL) al vértice es = a la de la otra (RL') al eje. Pueden estar ambas entre el centro de homología y el eje, o ambas en el espacio exterior del centro-eje de homología.

Para hallar las rectas límite podemos partir del centro y eje de homología y un par de rectas homólogas a-a'. Las paralelas a estas, por V, cortando a las dadas darán puntos de las rectas límite, teniendo en cuenta el paralelismo con el eje, ya se pueden dibujar.

En homología es muy práctico utilizar las rectas límite para averiguar las rectas homólogas de las dadas, pues todas las que convergen en un punto de la recta límite de un plano serán paralelas en el segundo plano.

Una aplicación muy interesante de las rectas límite, combinadas con el arco capaz, es la posibilidad de determinar una dirección-forma concreta de la figura homóloga, pues la ubicación del Vértice se podrá controlar.

Una aplicación habitual de la homología es la perspectiva cónica relacionando vista diédrica en un plano y perspectiva cónica en el otro.

Centro Radical

El Centro Radical es un punto equipotencial para 2 o más circunferencias. Cualquier punto de un eje radical será centro radical de todas las circunferencias pertenecientes al haz coaxial. Si tenemos 3 circunferencias, cuyos centros no están alineados, determinarán un único punto equipotencial para las tres. Si las circunferencias están alineadas y no pertenecen a un mismo haz coaxial, el Centro Radical es impropio y de dirección perpendicular a la línea de centros.

Para hallar el centro radical de 3 circunferencias se necesita determinar la intersección de los ejes radicales respectivos a cada par de circunferencias. Si son secantes y tangentes se resuelve directamente, si son exteriores se utiliza una circunferencia auxiliar secante a las que sean exteriores. Si el centro radical resulta ser exterior, la circunferencia equipotencial para las tres se calcula con la tangente a una de ellas. Si es interior, hay que hallar la altura del triángulo rectángulo donde la hipotenusa es el diámetro por Cr. (puedes consultar más aquí)

La resolución de muchos problemas de tangencia, desde el punto de vista de potencia, es posible gracias al concepto de centro radical y circunferencia equipotencial, en casos de rectas y circunferencias tangentes entre sí o bien de tangencia entre circunferencias.

Eje Radical exterior

El Eje Radical de circunferencias exteriores se halla utilizando una circunferencia auxiliar que corte a las dadas. La intersección de la auxiliar con cada una de ellas determinará un eje (e1 y e2), al cortarse estos se descubre un punto equipotencial CR para las dos circunferencias dadas. Aplicando la propiedad del eje radial perpendicular a la línea de centros, se traza la recta pasando por el punto hallado.

NOTA: Con los puntos A puedes variar el Radio y con los Q la posición del centro y el Radio.

HACES COAXIALES

Para dibujar más circunferencias exteriores, que tengan el mismo eje radical, se utiliza la circunferencia equipotencial y se aplica la propiedad de ortogonalidad de todas las circunferencias con ella, teniendo en cuenta que el centro de todas las que se quieran trazar debe estar en la misma línea de centros.

Eje Radical secante

El Eje Radical es una recta dibujada por los distintos puntos del plano, que contiene a dos circunferencias, donde la potencia es igual para ambas. Por supuesto, el valor de la potencia es variable para cada punto de la recta eje, pero siempre será idéntico para las dos. Este concepto se puede ampliar si se trabaja con más circunferencias, pues en realidad, habrá infinitas circunferencias que tengan el mismo valor potencial, para cada punto del eje. En este caso hablamos de un haz coaxial de circunferencias.

Las propiedades que relacionan las circunferencias y la recta eje radical son útiles para resolver problemas de dibujo técnico, principalmente de tangencias.

El eje radical de una circunferencia es sencillo de calcular cuando las dos circunferencias son secantes, pues ya disponemos de dos puntos equipotenciales, los de intersección. (Recordemos, el valor de potencia de un punto situado en la circunferencia es 0). Por tanto, el eje pasará por estos dos puntos.

NOTA: puedes variar Radio y posición de Q2 (moviendo A y Q2), así como variar posición de P.

En cuanto trazamos el eje radical de dos circunferencias secantes observamos la propiedad: eje perpendicular a la línea de centros. Esto nos permite resolver el eje radical entre circunferencias tangentes, pues por T pasa el eje perpendicular a LC. Para el caso eje radical entre circunferencias exteriores, como sólo conocemos la dirección del eje, no podemos dibujarlo directamente, pero sí utilizando una circunferencia auxiliar que sea secante a ambas, con cada una dará un eje y la intersección de ambos será punto equipotencial de las exteriores.

Otra relación geométrica que se obtiene entre las circunferencias, gracias a la potencia, es la circunferencia equipotencial. Cualquier punto exterior a ambas que esté en el eje radical será centro de una circunferencia de Re= segmento tangente a cualquiera de la circunferencia (el cuadrado de este Re es el valor potencial, para punto exterior). En este caso, la circunferencia equipotencial se dice que es ortogonal a las dadas porque el ángulo entre su radio y las dadas es de 90º.

Además, los segmentos tangentes comunes a ambas circunferencias dadas (Q1 y Q2) serán cortados por el eje radical, en el punto medio.

HACES COAXIALES

Si se desea trazar más circunferencias que tengan el mismo eje radical de las dadas secantes, su centro estará en la misma línea de centros y su radio permitirá que pase por los puntos secantes del eje. Si el eje radical es de circunferencias tangentes, las circunferencias tendrán su centro en la línea de centros y el radio permitirá que pase por el punto de tangencia.

Rectas tangentes a Hipérbola, desde P

Se necesitan los focos y la medida 2a.

1º Se dibujan dos circunferencias. Una de centro P y Radio hasta el foco más cercano, la otra de centro el otro foco y R=2a. Si se cortan, tenemos solución. La intersección son los puntos M y N.

2º La mediatriz del segmento MF es una de las tangentes, la intersección de esta con la recta que pasa por M y el otro foco nos sitúa el punto de Tangencia.

3º Se procede de igual manera con el punto N.

NOTA: Puedes mover P para observar las posibilidades tangenciales.

En el caso de que P sea punto impropio, la circunferencia de centro P pasa a ser una recta (recta= circunferencia de R infinito), la dirección de esa recta será perpendicular a la del punto P impropio. Por lo tanto, de P debemos conocer la dirección. La resolución es similar, lo único que varía es que la circunferencia de centro P que pasa por el foco es ahora una recta que pasa por el foco y de dirección perpendicular a la de P impropio.

Rectas tangentes a Parábola, desde P

Se necesitan el foco y la directriz, para resolverlas.

1º Se traza circunferencia de centro P que pase por el foco. La intersección con la directriz da los puntos M y N que permitirán la resolución.

2º La mediatriz de MF es una tangente, la perpendicular a la directriz desde M, al cortar a la mediatriz, determina el punto de tangencia. El mismo proceso con el punto N.

NOTA: mueve P para comprobar la dependencia de las tangentes.

En el caso de que el punto P sea un punto impropio, la circunferencia se convierte en una recta (recta = circunferencia de R infinito), por ello se trazará una recta por el foco cuya dirección será perpendicular a la dirección de P en el infinito. Como sólo habrá una intersección con la directriz, la solución será única.

Rectas tangentes a elipse, desde P

Se necesitan los focos y la medida 2a.

1º Se trazan 2 circunferencias que al cortarse dan los puntos M y N. La una con centro en P y radio hasta el Foco. La otra con centro en el otro foco y R= 2a.

2º Con M se obtiene una tangente y su punto de tangencia. La tangente será la mediatriz del segmento desde M a un foco y el punto de tangencia la intersección de esa mediatriz con la recta desde M al otro foco.

3º Con N se obtiene otra tangente y su punto de tangencia. Tangente = mediatriz. Punto T intersección mediatriz y recta desde N al otro foco.

NOTA: Para no confundir qué foco dará la mediatriz tangente... comprueba que pasa por P.

En el caso de que P sea punto impropio, la resolución es similar. Únicamente tener en cuenta que el centro de la primera circunferencia es también punto impropio, es decir, la circunferencia se convierte en una recta (recta= circunferencia de radio infinito). Por lo tanto, se trazará una recta que pase por el foco (en sustitución de esa primera circunferencia) y su dirección deberá ser perpendicular a la dirección de P impropio. El resto de la resolución es exactamente igual.

Mueve el vector dirección y comprueba cómo las tangentes siguen su dirección.

Recta tangente a Hipérbola, conocido T

Para resolver el problema necesitamos los focos.

La bisectriz del ángulo, determinado por los focos y el punto T como vértice, es la tangente buscada.

Mueve T para ver el recorrido de la tangente en cada rama (se ha propuesto el simétrico T` para que se observe en ambas).

Recta tangente a Parábola, conocido T

Para resolver las tangencias a la parábola es necesario, además del foco, la directriz.

Una vez obtenidos foco y directriz...

1º Perpendicular a la directriz, desde T

2º Ángulo D1TF

3º La bisectriz de este ángulo es la tangente buscada.

Puedes mover T para observar el recorrido de la tangente.

Recta tangente a Elipse, conocido T

Para resolver cualquier problema de tangencias a las curvas cónicas, necesitamos los focos. Por lo que el primer paso siempre será obtenerlos.

En el caso de conocer el punto de tangencia en la elipse, el ángulo que determina con los focos nos ayuda a obtener la tangente. No es necesario, por tanto, trazar la elipse para resolver.

1º Dibujar ángulo F1TF2

2º Bisectriz del ángulo.

3º La perpendicular a la bisectriz, en T, es la tangente buscada.

Puedes mover la posición de T para observar la tangencia en todo su recorrido.

Hipérbola, construcción Xpuntos

Los elementos de la hipérbola se asemejan a los de la elipse, si bien la forma es totalmente diferente y por supuesto hay otros aspectos a tener en cuenta.

Tiene dos focos, dos ejes de simetría y dos medidas a y b que se relacionan con los focos.

Sin embargo, a partir de aquí se destacan las diferencias:

1ª La curva es abierta y de dos ramas.

2ª Tiene 2 rectas, asíntotas, que representan las tangentes a la curva, en los puntos impropios.

3ª La propiedad, en vez de suma (como en la elipse) es la diferencia de distancias desde un punto P de la curva a los focos F1 y F2 que es igual a la distancia entre sus vértices o eje real AB (es decir, 2a).

4ª La distancia 2b es la distancia entre los puntos de las asíntotas, intersección de una perpendicular al eje que pasa por el punto de inflexión. La forma de la hipérbola depende de la relación entre a y b, si son iguales se dice que la curva es hipérbola equilátera; si b es menor la curva es más cerrada o aguda y si b es mayor que a la curva se abre.

La construcción por puntos aplica la propiedad. Suponiendo como datos el eje real y b.

1º Poner 2a=AB, el punto medio M = intersección de asíntotas y centro de simetría.

2º Perpendicular en B y medida b, punto P en asíntota.

3º Circunferencia, centro en punto medio y Radio hasta P, sitúa los focos en el eje de la hipérbola.

4º Pasos idénticos a construcción de elipse. Se sitúan puntos sobre el eje 1, 2, 3, 4...

5º Se miden con el compás radios desde los puntos a A y B

6º Se dibujan circunferencias con centro en los focos y sus intersecciones serán puntos de la curva:

R=B1 intersección con R=A1

R=B2 intersección con R=A2, etc.

7º Se traza la línea por los puntos hallados, con plantillas de curvas.

Parábola, construcción Xpuntos

Propiedad Pdirectriz=PF. Mueve P y comprueba.

La parábola por puntos se traza aplicando directamente la propiedad que relaciona todo punto de la curva con el foco y la directriz, y que es la igualdad de distancias desde ambos elementos a cada punto, variable en cada uno y aumentando desde el punto de inflexión o vértice V, donde se encuentra la menor distancia posible.
Dada la distancia entre la directriz y el foco.

1º Hallamos el vértice V, como la distancia será igual a D y a F, con la mediatriz.

2º Para otros puntos: Se trazan rectas paralelas a la directriz (, estas dan la distancia entre directriz y cada punto que se va a hallar.

3º Circunferencias con centro en el foco F, con radio las distancias anteriores, que cortarán a las rectas, la intersección será entre circunferencia de Radio igual a la distancia de la recta:

R=D1 intersección con recta que pasa por 1

R=D2 intersección con recta que pasa por 2, etc

4º Se traza la curva siguiendo los puntos. Para ello se pueden utilizar las plantillas de curvas.

También hay compases especiales para curvas cónicas.

CICLOIDE

La cicloide es una curva que se dibuja situando un punto en una circunferencia (rueda) que rodando, sin deslizarse, sobre una línea recta la irá trazando en el plano que contiene a la circunferencia, para tener su trazado completo la longitud rodada será igual a la rectificación de la circunferencia.
Mueve el punto en la recta t para ver cómo se dibuja la curva.

Construcción gráfica de la curva cicloide

1º Hallar la rectificación de la circunferencia.
2º Dividir en la misma cantidad de partes iguales la circunferencia y el espacio a recorrer.
3º Situar la circunferencia en cada una de las posiciones del espacio a recorrer.
4º Hallar intersecciones, de las distintas alturas del punto de la circunferencia en posición inicial con cada circunferencia en las posiciones Q1,Q2, Q3, Q4, etc. pues en esos momentos el punto estará en distintas situaciones de su recorrido.
5º Para trazar la curva, una vez hallados varios puntos, se puede utilizar una plantilla de curvas, para mayor precisión es necesario un trazado programado por ordenador (por ejemplo con GeoGebra) o bien con una simulación.
Comprueba el trazado deslizando el punto en t

Como versiones de la cicloide están la acortada y la alargada. El punto que genera la curva estará en el interior de la rueda para acortarla y exterior a la misma, para alargarla.