Traslación

La Traslación en Dibujo Técnico significa movimiento, pero manteniendo el paralelismo y la cantidad de de desplazamiento para todos los componentes considerados en ella. En realidad, la traslación es un caso especial de homología, donde el centro es impropio y el eje también, de aquí el paralelismo en desplazamiento y entre lados trasladados.

Aunque no se habla mucho de la traslación en la enseñanza del Dibujo, su aplicación es amplia en la resolución de problemas, para simplificarlos. Cuando "mover" implica que se aborde el problema desde un punto de vista menos complicado, en cuanto a datos que considerar. O bien cuando resolver aparte, mejora la visualización de operaciones.

Ejemplos en donde se puede ver la traslación:

1) Suma o Resta de Radios. La operación se muestra a partir del centro de una circunferencia y la utilidad en la otra.

2) A partir del caso anterior, aplicamos en la resolución de rectas tangentes a 2 circunferencias. Las auxiliares de suma y resta de radios trasladan el problema a caso más sencillo de rectas tangentes a 1 circunferencia desde 1 punto (en este caso es el centro Q1). La operación tiene 2 pasos: 1º se traslada para problema más sencillo, 2º se regresa para dar la solución en su sitio. Otra denominación de esta transformación geométrica es dilatación (suma de radios) y contracción (resta de radios).

3) Otro ejemplo de simplificación: Caso de circunferencias tangentes a 1 circunferencia dada y a 2 rectas dadas. Se pasa a caso más sencillo: que pase por un punto, en vez de tener en cuenta la circunferencia entera, este punto deberá ser el centro de la circunferencia dada.

SEGÚN SOLUCIONES CON LA DADA INTERIOR

SEGÚN SOLUCIONES CON LA DADA EXTERIOR Guada

Hipérbola como homóloga de la circunferencia

La homóloga de la circunferencia determina una curva cónica. Para que ésta sea una hipérbola, la circunferencia dada estará cortada por la RL. Los puntos de intersección tendrán sus homólogos como impropios y corresponderían a la "intersección" de las asíntotas con las ramas de la hipérbola. Es decir, la figura homóloga de la circunferencia estará formada por dos trozos o ramas.

Para resolver debemos también tener en cuenta la relación de polaridad entre la circunferencia dada y la recta límite RL.

1º Circunferencia secante a RL que será recta polar. Puntos intersección T1 y T2

2º Tangentes a la circunferencia por T1 y T2 para en su intersección determinar el Polo o punto M. En M' se cortarán las asíntotas de la hipérbola que son las homólogas de esas tangentes.

3º La bisectriz del ángulo asíntotas es el eje de la hipérbola. Para tener claro cuál de las dos bisectrices es la válida, podemos utilizar otro punto C de la curva. Su homólogo nos ilustra el espacio que ocupará la curva entre las asíntotas.

4º Vértices o puntos de inflexión A' y B' de las ramas de la hipérbola. Invirtiendo la homología a partir del eje de la hipérbola (bisectriz anterior), determinamos la intersección en la circunferencia en A y B. Hallamos los homólogos de estos y obtenemos los vértices A' y B'.

5º Focos F1 y F2. Necesitamos circunferencia de centro M' y radio concreto. Para hallar este, trazamos por B' la perpendicular p que corte a asíntota en P. Dibujamos la circunferencia: centro M' y R= M'P. La intersección entre la circunferencia y el eje determina los focos.

6º Dibujamos la curva hipérbola, siguiendo un método de trazado (por ejemplo, por puntos).

Nomenclatura

Se trata del conjunto de letras, símbolos y tipos de trazos que se disponen en un Dibujo Técnico con el fin de leer y entender rápidamente de qué entes geométricos se trata y qué relaciones destacables mantienen. Cada autor hace estilo propio a partir de lo general, variando según circunstancias expresivas. A veces, se confunden las anotaciones al margen con la nomenclatura, debido a explicaciones o aclaraciones que el profesorado suele incluir. La nomenclatura debe respetar y destacar la precisión y claridad del dibujo, por lo que no debe faltar y tampoco sobrar. Por otro lado, la acotación sustituye a la nomenclatura.

Nomenclatura de los entes geométricos básicos

1. Punto. Su grafía parte de su definición de posición, intersección de dos líneas, si bien es frecuente destacarlo con una pequeña circunferencia con centro en él. Su nombre, con letra mayúscula. Cuando es un punto especial, su denominación suele hacer referencia a su característica: Punto cualquiera P, Medio M, de Tangencia T, Centro de circunferencia Q (por la forma redonda), Vértice de ángulo V (por la forma y la inicial) cuando hay un conjunto de puntos que forman por ejemplo un polígono, se nombran ordenadamente en sentido contrario a las agujas del reloj (triángulo ABC), si son varios del mismo tipo se ponen subíndices o superíndices de comillas: T1, T2 o bien A, A', A"...
2. recta. Su grafía es variada, desde sucesión de puntos, trazos, alternancia de trazo y punto, trazo continuo. Y su grosor determina la importancia reservándose siempre el mayor para destacar la solución. El nombre, siempre será con letra minúscula. La recta  cualquiera r,  tangente t, eje e, o simplemente siguiendo el abecedario. Al igual que con el punto se pueden poner subíndices y superíndices de comillas.
3. plano. Su grafía real es imposible, aunque se suelen utilizar rectángulos y paralelogramos para representarlos o bien las rectas que lo definen con nomenclatura especial. Los nombres para ellas suelen ser letras del alfabeto griego y tienen subíndices representando la intersección con los planos de proyección. 

Nomenclatura, para ciertas formas geométricas

Radio. R, si son varios R1, R2, R3...

Diámetro. Únicamente se pone cuando se da la medida en donde no se ve la forma de la circunferencia, en acotación. Es decir, sustituye a la circunferencia.

Circunferencia: c1, c2, c3
Ángulo. Puede denominarse por el vértice con letra mayúscula o por su amplitud con letra griega.

Polígono. Con letra mayúscula: Cuadrado A + Cuadrado B...

Nomenclatura para ciertas relaciones

Identidad o coincidencia en el mismo espacio. Guión entre los nombres de las formas coincidentes: A-B, a-b, etc.

Paralelismo. Dos trazos paralelos sobre las rectas de igual dirección

Perpendicularidad. Un arco de circunferencia de radio pequeño y un punto en su interior. Hay versión cuadrada.

Dirección. Una flecha con una d encima, con la inclinación correspondiente.

Guada, 2011

J. Dpto

Media proporcional

La media proporcional es igual que la 3ª proporcional, también se parte de dos segmentos conocidos, la diferencia es que desconocemos el segmento que se repite.

En este caso aplicamos Teorema Pitágoras para resolver. Concretamente el teorema de la altura: la altura relativa a la hipotenusa (de un triángulo rectángulo) es media proporcional de los segmentos en que parte a la hipotenusa.

1º Sobre una recta situamos a+b

2º Hallamos el punto medio M, con la mediatriz.

3º Trazamos arco capaz de 90º (triángulo rectángulo)

4º Perpendicular al extremo común de a, b. Al cortar el arco capaz determina el segmento x buscado.

3ª Proporcional

Se resuelve de igual manera que la 4ª proporcional. La diferencia radica en que para tener 4 segmentos, uno de los dados se repite. Por lo tanto, la 3ª proporcional se halla a partir de dos segmentos dados a, b sabiendo que el b es quien se repite.

1º Se trazan dos rectas secantes r, s que se cortan en V.

2º Se sitúa a desde V, sobre r.

3º Se sitúa b, desde V sobre s y, desde el extremo de a, sobre r.

4º Se halla dirección de paralelismo desde extremos de a (sobre r) y de b (sobre s)

5º Se traza paralela por extremo de b (sobre r).

4ª Proporcional

Aplicando el teorema de Tales (si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes). Los triángulos semejantes tienen ángulos iguales y lados proporcionales.

Por lo tanto, si tenemos e segmentos rectilíneos: a, b, c... podemos hallar el cuarto proporcional utilizando dos rectas secantes r y s.

1º Desde la intersección V, y sobre r, se sitúa el segmento a

2º Desde V, y sobre s, se sitúa b. Los extremos determinan el tercer lado del triángulo, dirección de paralelismo.

3º Sobre r, a continuación de a, se sitúa c. Y desde su extremo se traza la paralela que al cortar s define el segmento x que es 4ª proporcional de los 3 dados.

NOTA: Puedes variar ángulo, moviendo P. O longitud de segmentos dados. La aplicación más frecuente de la proporción es el trazado de escalas gráficas.

Óvalo, conocidos los dos diámetros

Un procedimiento para hallar los centros de los arcos es haciendo la mediatriz de la diferencia de las medidas de los diámetros, en la recta que une dos extremos.

1º Se dibujan, perpendiculares, los dos diámetros AB y CD

2º Resta. Se pasa medida de semidiámetro mayor sobre el eje menor: circunferencia de centro M y R= MC, determinamos C'

3º Dibujamos segmento CB

4º Pasamos el resto BC' sobre el segmento: circunferencia de centro B y R= BC', determinamos C''

5º Mediatriz de CC''. Hallamos los centros Q1 y Q2 al cortar los ejes.

6º Simetría: los centros Q3 y Q4 así como las Líneas de Centro. Se determinan los puntos de Tangencia.

7º Se dibuja la curva.

Eje Radical tangente

El Eje Radical es una recta dibujada por los distintos puntos del plano, que contiene a dos circunferencias, donde la potencia es igual para ambas. Variable en cada punto.

Las propiedades que relacionan las circunferencias y la recta eje radical son útiles para resolver problemas de dibujo técnico, principalmente de tangencias.

El eje radical de una circunferencia es sencillo de calcular cuando las dos circunferencias son tangentes, pues conocemos un punto equipotencial, el de tangencia (recordemos, el valor de potencia de un punto situado en la circunferencia es 0) y también conocemos la propiedad que relaciona el eje radical con la Línea de Centros de las dos circunferencias, que es de ortogonalidad. Por tanto, el eje es la recta que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la Línea de Centros.
Además, se da la particularidad de que escogiendo cualquier punto del eje como centro de la Circunferencia equipotencial, el radio será la distancia hasta el punto de tangencia, puesto que el eje ya es un radio tangente a las dadas.

Dibujar más circunferencias pertenecientes al haz coaxial es muy sencillo: centro, en la Línea de centros; Radio, hasta el punto de Tangencia.

Ejes de homotecia de 3 circunferencias

Cualquier par de circunferencias siempre serán homotéticas entre sí, tanto de forma directa como indirecta. Si tomamos 3 circunferencias y hallamos los centros de homotecia (directo e indirecto) tomadas de dos en dos, obtendremos 3 centros de homotecia directa y 3 indirecta. Además, los centros se alinearán formando las 4 rectas ejes de homotecia: los 3 centros de homotecia directa determinarán uno y cada uno de los centros de homotecia directa con dos indirectos, los otros tres.

Equivalencias: cuadratura del círculo

El método que vamos a seguir para hallar un cuadrado equivalente de un círculo pasa por hallar sucesivamente un triángulo (rectángulo) equivalente, el rectángulo equivalente y finalmente el cuadrado equivalente.

1º Se rectifica la circunferencia (se ha aplicado el método de Arquímedes).

2º Se dibuja el triángulo de base el segmento rectificación y de altura el radio.

3º Se dibuja el rectángulo con la mitad de la base (rectificación) del triángulo y la misma altura (radio).

4º Se halla la media proporcional de la suma de lados del rectángulo (método de la altura del triángulo rectángulo) que será la medida del lado del cuadrado.

cuadratura de círculo

Equicomposición: "Cuadrado" equivalente de triángulo equilátero

En otro momento se ha explicado cómo obtener un cuadrado de cualquier forma poligonal. Ahora vamos a analizar un paso más directo, y sin transformaciones. Vamos a fragmentar una figura para con los trozos construir otra (pudiendo volver a la primera).

Una de las aplicaciones más interesantes que tienen las formas equivalentes son el diseño de puzzles por equicomposición. Las piezas, si se combinan de distintas formas darán como resultados distintas figuras. Esta es la base del famoso puzzle tamgram que también tiene versiones en 3D.

La aplicación al diseño modular es obvia y tiene un aspecto lúdico muy atractivo que abarca la juguetería y el diseño de mobiliario.

Siguiendo el método sencillo de H. E. Dudeney podemos pasar directamente de un triángulo equilátero a un "cuadrado" (las comillas son porque en realidad resultará un rectángulo de lados muy parecidos).

1º Dividimos en 4 partes iguales un lado, y de momento seleccionamos C1 y C2

2º Dividimos con la mediatriz los otros dos lados, tenemos los puntos medios A1 y B1

3º Segmento C1A1

4º Perpendiculares a segmento C1A1 desde B1 y C2.

5º Piezas poligonales: 1 triángulo rectángulo (casi isósceles) y 3 cuadriláteras (2 muy parecidas) cada una con un ángulo de 60º (las 3 esquinas del triángulo equilátero.

6º Se recolocan las piezas: tomando como vértice (para la suma de los 3 ángulos de 60º) la 2ª división del lado inicial del triángulo (ahora punto de la hipotenusa de la pieza pequeña)

NOTA: una vez colocadas todas las piezas se pueden apreciar las ligeras diferencias habidas con el cuadrado.

Elipse homóloga de la circunferencia

Para que una circunferencia tenga por homóloga una elipse, la circunferencia debe ser exterior a la RL. La circunferencia y la elipse se relacionan al igual que el cuadrilátero y el rectángulo. Si tenemos intención de que los ejes de la elipse sean perpendiculares entre sí, esta condición deberá tenerse en cuenta para situar el Centro de homología. Por lo mismo, si una circunferencia se inscribe en un cuadrado o en un cuadrilátero, en este caso, la elipse quedará inscrita en el rectángulo homólogo del anterior. La circunferencia y la recta límite se relacionan por polaridad, siendo el homólogo del polo en la circunferencia, el punto medio de los ejes de la elipse.

Relaciones a tener en cuenta

1º La circunferencia se puede inscribir en un cuadrilátero de cuyo homólogo se obtendrá un rectángulo, en el que se podrá inscribir la elipse homóloga de la circunferencia.

2º Para dibujar el cuadrilátero: se trazarán desde un punto de la RL tangentes a la circunferencia. Sus puntos de tangencia T1 y T2 limitan el diámetro, que será de la elipse en la homóloga. Al prolongarlo cortará a la RL, a partir de este punto de intersección se trazan el otro par de tangentes a la circunferencia, los puntos de tangencia T3 y T4 determinarán el otro diámetro -al cortarse ambos diámetros el punto M, cuyo homólogo será el centro geométrico de la elipse-. Las intersecciones entre las tangentes determinan lados y vértices del cuadrilátero circunscrito a la circunferencia.

3º Para condicionar un rectángulo homólogo del cuadrilátero, se trazará el arco capaz de 90º entre los puntos intersección en la RL. Al situar el Centro de homología Ch en este arco, las rectas homólogas sean perpendiculares. Y las convergentes en RL, serán paralelas.

4º Se trazarán las rectas homólogas con las direcciones desde Ch, de las tangentes y las rectas diámetro para obtener el rectángulo y los diámetros de la elipse.

5º Se construye la elipse siguiendo algún método de construcción, en el ejemplo se ha aplicado el método Xdiámetros.

ELIPSE: método por diámetros

También llamado método por afinidad -aplicando la relación de afinidad entre circunferencia y elipse-. Para utilizar este método tan solo se precisan las dimensiones de sus diámetros -los focos si se necesitaran se podrían hallar por separado-.

1º Se dibujan las circunferencias concéntricas en M (punto medio de los diámetros) y con radio las medidas a, b.

2º Se dividen las circunferencias con rectas diámetro (pasan por el centro). Aunque cualesquiera son válidas se procurar buscar la simetría trazando bisectrices de los ángulos centrales. La simetría facilita la compresión y el trazado.

3º Tomando cada semirrecta desde el centro y sus intersecciones con las circunferencias se trazan paralelas a los ejes. Por la circunferencia pequeña al AB y por la mayor al CD. La intersección de estas dos paralelas determina punto de la curva elipse.

4º Se repite el proceso con las otras semirrectas, además se puede aprovechar la doble simetría tanto de las rectas paralelas como de los puntos obtenidos de la curva

Los ángulos del triángulo suman 180º

Los grados sexagesimales tienen en cuenta el máximo de amplitud de 360º para el ángulo completo que es la circunferencia, por lo que la partición de la misma por el diámetro nos determina la bisectriz del mismo y el valor de 180º para el ángulo llano.

Esta cantidad es la misma que para la suma de los ángulos del triángulo y se puede demostrar fácilmente trazando una paralela a un lado por el vértice opuesto, la prolongación de los otros dos lados dibujará los mismos ángulos que configuran el triángulo.

NOTA: puedes variar la forma del triángulo

Parábola como homóloga de circunferencia

La homología de la circunferencia determina curva cónica. Para que esta resulte una parábola, la circunferencia dada debe ser tangente a la RL. La posición del Centro de homología no es determinante pero sí las direcciones que se tendrán que buscar.

1º Dibujar circunferencia tangente a la RL. Punto TRL , cuyo homólogo será punto impropio de la parábola (punto que la cerraría al cortarse con el eje de la misma), lo que implica que también será punto del eje y por tanto, la dirección ChTRL será la del eje de la parábola

2º Como la directriz es perpendicular al eje de la parábola, se halla la dirección que habrá de tener con la perpendicular a la anterior. Desde la intersección en la RL se traza la tangente a la circunferencia, está será la tangente a la parábola en el vértice -por lo que el punto de tangencia es V-. Tenemos determinado el eje de la parábola con el segmento T-TRL y su dirección a partir del centro de homología.

3º Se dibuja el eje de la parábola y se sitúa V' en él. También necesitaremos la homóloga de la recta tangente para hallar el foco. Aplicando la propiedad: la proyección ortogonal del foco sobre cualquier tangente a la parábola se encuentra en la tangente al vértice.

4º Se dibuja otra recta tangente a la circunferencia, en el punto T3. Se determina su dirección para la homóloga. Y la perpendicular a esta dirección, será la de proyección ortogonal para F. La intersección de la tangente por T3 con la tangente por V determina el punto desde el cual trazar la perpendicular. Se une este punto con el de dirección de su homóloga, hallado en la RL.

5º La homóloga de la anterior, al cortar al eje de la parábola determina la posición del Foco F'.

6º La directriz, equidista del vértice la distancia al foco. Una circunferencia nos determina la intersección con el eje de la parábola, la perpendicular al eje por este punto.

7º Como la parábola está totalmente definida, se puede construir siguiendo por ejemplo el método por puntos.

En el dibujo se comprueba que la tangente en la circunferencia -por punto T3- tiene también su homóloga tangente a la parábola -en el punto T'3-.

Parábola: propiedades

1ª Propiedad: Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz, por ello, con centro en cualquier punto P de la curva, se puede dibujar una circunferencia que, al pasar por F, será tangente a la directriz.

Esta propiedad es aplicable para la construcción de la curva y para resolver problemas de tangencia.

2ª Propiedad: La proyección ortogonal del foco sobre cualquier tangente a la curva, da el punto de intersección entre esa tangente y la tangente trazada por el vértice. O bien, si tenemos la tangente a la curva en el vértice -punto de inflexión-, cualquier otra tangente a la curva la cortará y en el punto de intersección se puede trazar una perpendicular a esta tangente que pasará por el foco.

Esta propiedad es aplicable para la construcción de homóloga de circunferencia tangente a Recta Límite que determinará una parábola.

Ángulo entre circunferencias

El ángulo formado por dos líneas que se cortan (líneas o curvas) tiene por vértice el punto de intersección y los lados son las tangentes en ese punto.

El ángulo entre 2 circunferencias, secantes o tangentes, tendrá por vértice el punto de contacto (si son secantes habrá dos solucione simétricas). Las tangentes en ese punto determinarán la apertura del mismo. Si las circunferencias son tangentes, los lados tangentes coinciden en la recta tangente común en ese punto.

Circunferencias secantes

Circunferencias tangentes Si las circunferencias son exteriores, no hay vértice definido. Para analizar el ángulo entre ellas, se trazarán las tangentes, desde el centro de una a la otra circunferencia, y la prolongación de los radios en esos puntos de tangencia serán los lados que determinarán el vértice del ángulo al cortarse.

Circunferencias exteriores CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES: Se dice que dos circunferencias son ortogonales cuando el valor del ángulo que forman es de 90º.

Aplicación en potencia

La circunferencia equipotencial es secante y ortogonal a todas las circunferencias del mismo haz, y tendrá su centro en el eje radical del mismo. Por lo que el radio de la equipotencial en el punto de intersección será la recta tangente de la otra considerada -y viceversa-.

Circunferencias secantes ortogonales

Polígono convexo equivalente de polígono cóncavo de n lados

Dos polígonos equivalentes son aquellos que tienen áreas con el mismo valor. Obtener un polígono convexo equivalente de uno cóncavo se puede conseguir si se descompone la figura cóncava en triángulos. Cada triángulo se podrá transformar en otros o bien en un rectángulo. Si se desea obtener una única figura, como resultado final, se podrán convertir cada triángulo en un cuadrado equivalente, sumar estos de dos en dos y a partir del último cuadrado, obtener el polígono que se desee.

Los primeros pasos se muestran en el ejemplo.

1º Descomponer en triángulos, incluido el núcleo convexo, que si es de más de 3 lados se transformará en triángulo equivalente.

2º Cada triángulo en rectángulos equivalentes. Si alguno tiene coincidencia de lado se podrán sumar directamente. En el ejemplo se obtienen los rectángulos A, B, C, D y E. Y se da el caso de que A+E forman un rectángulo equivalente. La figura que conserva la misma área que el polígono dado es la suma de A+B+C+D+E

 Cuando se tienen polígonos cóncavos regulares, se obtienen rectángulos con un lado de igual tamaño, por lo que es fácil sumarlos. Cuando se obtienen lados desiguales, si se pasan a cuadrados equivalentes se podrán sumar -aplicando el Teorema de Tales (ver cuadrado equivalente a 2 cuadrados)-. Una vez que se tiene un único cuadrado como solución, este a su vez se podrá transformar en otras figuras equivalentes, que lo serán de ese cuadrado y del primer polígono cóncavo dado.

Triángulo equivalente de polígono convexo de n lados

Un polígono convexo cualquiera puede ser transformado en un triángulo equivalente. Para ello se debe trabajar a partir de formas triangulares en el polígono, cada triángulo se transformará en otro que sea prolongación de un lado de la figura.

Una vez que se tiene el triángulo, este a su vez se puede seguir transformando sucesivamente en otro triángulo, un rectángulo, en cuadrado.

Cuadrado equivalente a 2 cuadrados

Si un cuadrado es equivalente a otros dos es porque la suma de las áreas de estos es igual a la del primero. La suma se puede hacer fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras: hipotenusa al cuadrado igual a primer cateto al cuadrado más el 2º cateto al cuadrado -recordemos que el área del cuadrado es lado al cuadrado-. Los catetos serán los lados de los cuadrados a sumar y la hipotenusa, el lado resultado de la suma.

Cuadrado y rectángulo equivalentes

Un cuadrado es equivalente a un rectángulo cuando tiene la misma área. Si un cuadrado es equivalente a un rectángulo, el lado del cuadrado es media proporcional de la suma de los lados diferentes del rectángulo. Por ello para calcular un cuadrado equivalente a un rectángulo dado seguimos los pasos que permiten calcular la media proporcional.

1º Sobre una recta sumamos los lados a y b del rectángulo.

2º Hallamos arco capaz de 90º para el segmento suma anterior.

3º Aplicamos teorema de la altura del triángulo rectángulo que es media proporcional de la partición que hace en la hipotenusa.

4º La altura es el lado l4 del cuadrado.

Siguiendo el mismo razonamiento, de un cuadrado podemos pasar a un rectángulo equivalente.

1º Sobre una recta perpendicular situaremos un punto P1.

2º Desde este punto al extremo del lado perpendicular, tenemos el primer cateto de la propiedad que aplicamos (Teorema de la altura)

3º La perpendicular a este cateto, al cortar a la recta inicial, determinará el 2º cateto y, sobre la recta, la hipotenusa (P1-P2), que al ser partida por el lado del cuadrado nos da los dos lados del rectángulo: l1 y l2

Nota: Se comprueba la propiedad trazando el arco capaz de 90º.

Rectángulo y triángulo equivalentes

El área de un rectángulo y de un triángulo se diferencian tan solo porque el producto de lado x altura en el triángulo está partido por 2 y en el rectángulo no. Por ello, con cortar en 2 al triángulo, y aprovechando la parte superior en trozos de triángulos rectángulos sobrantes del triángulo original, podemos formar el puzzle de un rectángulo equivalente.

También se puede observar la operación inversa: de un rectángulo obtener un triángulo. En este caso, se duplica el lado que determinará la altura total del triángulo.

Triángulos equivalentes

Las figuras equivalentes son aquellas formas poligonales que tienen igual área. Pueden ser de igual o distinto número de lados. Entendiendo al círculo como un polígono de infinito número de lados, también tenemos círculo equivalente a cualquier polígono.

Para que dos o más triángulos sean equivalentes entre sí debemos mantener la medida de un lado (base) y la altura respecto de este. Recordamos que el área de un triángulo es base x altura /2. Es decir, a igual base y altura, el mismo resultado.

NOTA: Mueve vértices para comprobar

Circunferencias tangentes a 1 dada, por 2 puntos dados

Cualquier problema que se vaya a resolver precisa una previa reflexión. Tener claros los datos disponibles e imaginar cómo será la solución es imprescindible para no perderse. Suele ser útil hacer un boceto de las posibles soluciones para descubrir relaciones geométricas que se puedan aplicar.

En este problema, para que halla solución, los puntos dados pueden encontrarse en distintos casos:

Ambos puntos interiores a la circunferencia dada.

Ambos exteriores.

Uno en la circunferencia y el 2º interior.

Uno en la circunferencia y el 2º exterior.

Las soluciones máximas posibles serán dos y para resolverlo, aplicamos concepto de potencia con sus apartados: eje radical, haz coaxial, centro radical y también la propiedad de tangencia entre dos circunferencias cualesquiera, es decir, la recta que determinan sus centros, pasa por el punto de contacto o de tangencia.
NOTA: puedes mover A, B, variar el Radio...

Este problema es uno de los propuestos en la PAU ordinaria 2011, en Asturias.

Plano, en diédrico

El plano queda definido con 3 puntos no alineados o bien con dos rectas que se cortan. Como a su vez, dos puntos definen una recta, cuando hablamos de 3 puntos no alineados podemos estar hablando de dos rectas que tienen un punto en común. Es decir, para trabajar un plano hay que manejar la intersección de rectas. Si las rectas son paralelas... hay punto de intersección, aunque este es impropio, por lo que también definen plano.

En diédrico, el plano se dibuja con las rectas especiales de intersección del plano dado con los planos de proyección. Estas rectas, al estar contenidas en los planos de proyección tendrán una proyección coincidente con ellas mismas y se llaman trazas.

Traza horizontal, cuando corta al horizontal de proyección.

Traza vertical, cuando corta al vertical de proyección.

Ambas rectas, además, deben cortarse entre sí, para definir un plano, y siempre lo harán en la Línea de Tierra. En el caso de que una de ellas sea paralela a LT, la otra también lo será (punto impropio de intersección).
También se puede dar el caso de que el plano sea paralelo a alguno de los de proyección, entonces la traza o recta intersección será impropia.

La dificultad en diédrico para determinar un plano concreto está en cómo averiguar estas dos rectas traza a partir de otras rectas espaciales cualesquiera, que se corten, pertenecientes al plano. El problema se resuelve hallado los puntos traza de las rectas dadas como dato. Al ser los puntos traza puntos en los planos de proyección...

Si unimos puntos traza horizontales, obtendremos la recta traza horizontal.

Si unimos los traza verticales, la recta traza vertical.

Recta, en diédrio

Para situar una recta en el espacio necesitamos dos puntos de ella o bien 1 punto más la dirección de la recta.

En el sistema diédrico también se puede dibujar a partir de dos puntos, pero como sólo podemos situar los puntos a partir de sus proyecciones, situar la recta completa supone dibujar las proyecciones de cada punto que la forma y por lo tanto, de la recta.

La sucesión de proyecciones horizontales de puntos de la recta: proyección horizontal a' (planta)

La sucesión de proyecciones verticales de puntos de la recta: proyección vertical a'' (alzado)

En los casos especiales, en que los puntos estén en los planos de proyección, es cuando vemos lo espacial situado en la vista correspondiente. Los puntos traza son este tipo de puntos pues son el lugar geométrico de la intersección de la recta con el plano de proyección correspondiente.

Cuando a corta al plano vertical de proyección, traza Vertical V

Cuando a corta al horizontal de proyección, traza Horizontal H

Los puntos traza, a su vez, tienen proyección horizontal y vertical. Si bien suelen obviarse para evitar aglomeración de nomenclatura. Sin embargo, cuando se está aprendiendo el trazado diédrico conviene anotarlas, para evitar confusiones. Como V está en el plano vertical, su alejamiento del mismo es 0, por eso V' está en la LT. Como H está en el plano horizontal, su altura es 0, por eso H'' está en LT. Hallar los puntos traza es indagar dónde está la intersección de la proyección de la recta con la Línea de Tierra. En el caso de que la proyección sea paralela a la Línea de Tierra, entendemos que el punto intersección es impropio, por lo que sólo conoceremos la dirección donde se encuentra dicho punto.

NOTA: Puedes mover A y B para ver variar proyecciones de la recta y situación de trazas.

Cuando las proyecciones de la recta determinan ángulos especiales con la LT (paralelismo, perpendicularidad) o hay coincidencias de intersección con la misma, entonces estamos ante posiciones especiales de la recta.

Recuerda: para entender bien la recta hay que tener muy claro el punto. Y para comprender el plano, hay que dominar los conceptos de punto y recta.

Punto en diédrico

Un punto se puede situar en el espacio facilitando sus tres dimensiones, es decir A (x,y',z''). En el mundo bidimensional del sistema diédrico también es así, únicamente hay que tener en cuenta que los 2 planos de referencia -horizontal de proyección y vertical de proyección- se hacen coincidir en uno solo. Al convertirse en un plano único, se dificulta la visualización. Sin embargo es fácil aprender a deducir su posición espacial.

1º La dimensión x, el ancho. Sobre la Línea de Tierra (intersección de los dos planos de proyección, que son perpendiculares entre sí). Un punto 0 condiciona los valores negativos a su izquierda y los positivos a su derecha. Esta medida determinará la posición de la línea de referencia entre las proyecciones, perpendicular a LT.

2º La dimensión y, el alejamiento (profundidad en perspectiva) o distancia al plano vertical. Desde la Línea de Tierra (alejamiento 0) sobre la línea de referencia a trazos, perpendicular a LT, se miden los valores positivos bajo LT y los negativos por encima de LT. La proyección horizontal del punto (planta superior diédrica) se representa con una comita exponencial A'

3º La dimensión z, la altura o cota (altura en perspectiva) o distancia al plano horizontal. Desde la Línea de Tierra (altura 0) se medirán sobre la línea de referencia los valores positivos, por encima de LT y por debajo los valores negativos. La proyección vertical se representa con doble comita exponencial A''
NOTA: mueve puntos azules (coordenadas) para variar posición de A

El punto

Desde el punto de vista teórico y geométrico, el punto es la unidad mínima de ocupación espacial, y no tiene dimensiones. Desde el punto de vista artístico, el punto puede ser de distintos tamaños, formas, texturas, colores. Y a pesar de que en dibujo técnico le consideramos en su estado ideal (bastante abstracto), al dibujarlo siempre tendremos que ocupar un trocito de espacio, mediante algún tipo de trazo -cuya precisión dependerá de la técnica elegida-, este suele ser: dos líneas que se cortan, un círculo, una circunferencia.

Determinar un punto en el espacio es posible con la intersección de dos entes geométricos: dos líneas (no es necesario que sean rectas), una línea y un plano, una línea y una superficie volumétrica.

Pero para situar un punto, solitario, en el espacio precisamos tener 3 dimensiones que lo ubiquen en el mismo: x (ancho), y (profundidad), z (altura).
NOTA: Mueve puntos azules para variar posiciónes
Punto en diédrico: coordenadas

Punto en perspectiva: coordenadas

Estas serán las dimensiones que manejaremos en cualquier perspectiva y en el sistema diédrico. Si bien en este último caso, se suele estudiar atendiendo principalmente a 2 dimensiones: y (alejamiento = profundidad), z (cota = altura), para determinar posiciones en cuadrantes o en planos de proyección.

No está demás recordar, que tanto en sistema diédrico como en perspectiva estamos dibujando en 2D, siendo la 3ª dimensión un producto más mental que real, siendo totalmente imaginario en el sistema diédrico, y simulado en el caso de las perspectivas.

Otro aspecto del punto que debemos tener en cuenta es cómo se le llama o denomina, pues su nomenclatura es la letra mayúscula: A, B, C... Algunos puntos suelen llevar una letra concreta, por ejemplo: Q el centro de una circunferencia, M el punto medio, P un punto cualquiera, ABC los vértices de un triángulo, etc.

La aplicación más interesante del punto es la definición de los distintos entes geométricos: sucesión de puntos (línea), extensión de puntos (plano), lugar geométrico de los puntos del plano (cualquier definición en dibujo), vértices de figuras planas o volumétricas. Por eso, sabiendo dibujar puntos podemos aprender a dibujar cualquier forma, dado que cualquier forma la podemos reducir a un conjunto de puntos. Si bien cada conjunto responderá a alguna propiedad que los agrupe y el conocimiento de estas relaciones nos permitirá dibujar mejor y con mayor precisión, tanto si trabajamos en dibujo técnico como en artístico (ejes, simetrías, proporción, paralelismo, perpendicularidad, etc).

Polígono sobre plano, en diédrico

Situar un polígono en cualquier tipo de plano, en el sistema diédrico, puede ser sencillo dependiendo de la posición del plano considerado. Si lo vamos a situar en un plano de proyección o en alguno paralelo al mismo, el problema se reduce a dibujar el polígono de forma directa, pues se verá con su verdadera forma y magnitud. Si por el contrario estamos ante un plano oblicuo, simplificamos el problema abatiéndolo sobre uno de los planos de proyección. Esto no quiere decir que no sea una tarea laboriosa, pues a mayor cantidad de vértices, más trazados. De nuevo se puede simplificar el problema, buscando paralelismo de lados a la traza charnela, o mejor aún, haciendo coincidir con ella un lado.

En el ejemplo ponemos un pentágono regular, pues suele ser el polígono preferido de los profesores.

PASOS

1º Suponemos el polígono en un plano de proyección (en el caso dado, en el horizontal), donde se dibuja en verdadera forma y magnitud (consideramos que está abatida sobre el plano horizontal de proyección).

2º Se abate la traza vertical del plano. Para ello se elige un punto M de ella (las rectas horizontales son las más prácticas para abatir sobre el plano horizontal de proyección y para desabatir).

3º Se comienza el desabatimiento de cada vértice de la figura, pasado rectas horizontales que luego se desabaten.

4º Una vez halladas las proyecciones horizontal y vertical de cada uno de los puntos vértice (en su correspondiente recta desabatida), se dibujan las formas poligonales de cada proyección (vistas en planta y alzado).

NOTA: Puedes variar la forma y posición del pentágono OBSERVACIÓN: La figura en el plano horizontal de proyección, en supuesto abatimiento, es afín de la proyección horizontal de dicha figura, en una afinidad ortogonal. La traza charnela es el eje de afinidad, por eso al prolongar los lados afines se cortan en ella (puntos dobles). La dirección es de perpendicularidad pues es el ángulo que tenemos al girar sobre la charnela, tanto para abatir como para desabatir.

En el caso de abatimiento sobre plano vertical, entonces la afinidad ortogonal se forma entre el polígono abatido con la proyección vertical del mismo.

Polígono regular de n lados: construcción

Cualquier polígono regular es inscriptible en una circunferencia y esta se puede dividir en partes iguales, tantas como vértices el polígono, por eso el método general siempre relaciona circunferencia y vértices o Radio y lado.
Si necesitamos construir un polígono regular de cierto nº de lados resolvemos como en el problema división de circunferencia en partes iguales. En una circunferencia cualquiera se hallan los vértices del polígono inscrito.

 

Pero si además necesitamos concretar una medida de lado, entonces a esa parte añadiremos lo siguiente.

Se medirá sobre una recta lado (en el ejemplo: AB) y se trazará paralela a Radio por vértice del extremo izquierdo, al cortar el Radio por el extremo derecho (o su prolongación) obtenemos la medida de radio de circunferencia que tendrá inscrito el polígono deseado, con la longitud de lado deseada. Los polígonos dado y solución son homotéticos (lados paralelos y proporcionales, vértices alineados con Centro de homotecia), al igual que las circunferencias que los circunscriben, y el centro de homotecia es el centro de las circunferencias.
Otro método de construcción: a partir de la medida del lado se averigua la medida del radio.

Circunferencia: división en partes iguales

Dividir una circunferencia en partes iguales se puede analizar de forma particular para cada caso o con un método general para n divisiones. Este problema está directamente relacionado con inscribir un polígono regular en ella al tratarse de distancias iguales, entonces, cada punto señalado sería un vértice del polígono.
Ejemplos de casos particulares
La división más sencilla, es la que produce un diámetro, pues al trazarlo tendremos la semicircunferencia. Con dos diámetros perpendiculares tendremos 4 partes iguales. Con el radio, siempre podremos dividir en 6 partes equidistantes pues será justamente el radio = al lado del hexágono regular inscrito. Esto también permite dividir en 3 partes iguales la circunferencia.

Si deseamos seguir un método general (que hay varios), para dividir en cualquier cantidad de partes iguales la circunferencia, podemos utilizar el siguiente.
Método general con punto exterior

1º Hallamos un punto P exterior (si se desea, también el simétrico, pues un P resuelve la mitad de la circunferencia).

2º División del diámetro de la circunferencia en tantas partes como queramos hacer en la circunferencia, aplicando el teorema de Tales. Solamente necesitamos los puntos pares del diámetro (o los impares, pero no todos), por eso podemos ahorrar líneas trazando únicamente las paralelas necesarias.

3º Se trazan rectas desde P por los puntos pares del diámetro. Las intersecciones con la circunferencia (al otro lado del diámetro) nos dan divisiones en la misma. Para hallar lo correspondiente en la otra semicircunferencia se aplica simetría (central o bilateral).

NOTA: Se puede inscribir polígono regular con nº de vértices = nº de divisiones en la circunferencia.

Circunferencia en perspectiva isométrica: ¿óvalo o elipse?

La circunferencia en perspectiva isométrica, al presentarse en posición oblicua respecto del observador, se visualizará como una elipse y el método de los 8 puntos es el utilizado habitualmente para trasladarla desde la vista diédrica al plano isométrico.

Sin embargo, las dificultades de trazado (necesitando plantillas de curvas) unido a la poca diferencia de la forma elíptica con un óvalo, en este tipo de perspectiva, convence a la mayoría de los dibujantes de la conveniencia de sustituir la forma elipse por un óvalo que dada su aplicación recibe el nombre de óvalo isométrico.

Te presentamos la forma de trazar, en el plano xy, el óvalo isométrico y cuál es la diferencia con la elipse que sustituye. Fíjate especialmente en los puntos de las diagonales.

Circunferencia en perspectiva: método de los 8 puntos

El método de los 8 puntos consiste en seleccionar 8 puntos claves de la circunferencia para situarlos en perspectiva y así poder trazar su deformación elíptica, cuando está dispuesta en plano oblicuo respecto del espectador.

Estos puntos son los que la relacionan con el cuadrado que la circunscribe y son de 2 clases: Los 4 puntos de tangencia y los puntos intersección con las diagonales del cuadrado.

Entendemos que partimos de la vista diédrica y trasladamos la información al plano determinado por el par de ejes considerados en la perspectiva (de cualquier tipo).

Un cuadrado es sencillo de dibujar en perspectiva, así como sus diagonales y mediatrices, con lo cual, es fácil ubicar los 8 puntos, lo que no es tan sencillo es trazar la elipse correspondiente en el dibujo tradicional, pues deberemos ayudarnos de plantillas de curvas. En estos casos es cuando más se aprecian los programas de dibujo con ordenador. Recordamos, sin embargo, que cuando se dibuja en perspectiva isométrica, se suele sustituir la elipse por el óvalo isométrico y así poder utilizar el instrumento de precisión que es el compás (aunque la curva sea menos exacta que la elipse correspondiente).

Ejemplo de circunferencia en perspectiva caballera, en el plano xy, considerando la reducción Cy= 1/2. El trazado debe seguir el paralelismo de los ejes para los lados del cuadrado. Las diagonales determinan el centro y a partir de este se sitúan los ejes de la circunferencia y por tanto los puntos de tangencia.

Circunferencias de =R inscritas en polígono regular

Tomamos tantas circunferencias como lados el polígono. El caso más sencillo es 3 circunferencias de =Radio inscritas en un triángulo equilátero. Sirve como ejemplo, pues todos los casos se podrán resolver con pasos similares.

Tenemos dos supuestos: que las circunferencias toquen un solo lado o que toquen dos lados. La ocupación espacial será diferente y por tanto el tamaño de la circunferencia será mayor en el 2º caso, pues podrá ajustarse más al espacio físico dentro del polígono.

Los pasos son:

1º Mediante mediatrices o bisectrices, dividir el polígono en tantos espacios poligonales de igual forma y tamaño, como nº de circunferencias a dibujar.

2º Trazar bisectrices de los ángulos del polígono determinado en el paso anterior para obtener el centro de la 1ª circunferencia.

3º Desde el centro, trazar perpendicular a un lado, para determinar su Radio.

4º Dibujar circunferencia. Para las restantes, repetir proceso o, mejor aún, aplicar simetría.

Observaciones:

Un problema de tangencias nunca está terminado de resolver sino se determinan todos los puntos de contacto, para ello se deben trazar las líneas que cumplen la propiedad en cada caso, es decir R perpendicular a recta tangente, Línea de Centros entre circunferencias tangentes.

En el triángulo equilátero coinciden las rectas notables mediatriz-bisectriz así como en los polígonos regulares impares. En los polígonos pares se distinguen. Si se desea hacer la partición en espacios para un lado tangente, se trazan las bisectrices. Si se desea organizar espacios para tangencia a 2 lados, se hallan las mediatrices.

Espiral irregular de 4 centros

Partiendo de un polígono de 4 lados irregular, la espiral también resulta irregular

Espiral regular de 3 centros

Si el núcleo de la espiral es un triángulo el aumento de radios de las circunferencias sucesivas añadirá la longitud del lado correspondiente, en cada ocasión. Si el triángulo es equilátero, los centros equidistarán y el aumento de radio paulatino será siempre constante. Esto dará una regularidad formal a la espiral que se perdería en el caso contrario.

NOTA: Puedes variar la distancia de centros y por tanto, tamaño de triángulo equilátero.

Las espirales tienen amplia aplicación en el diseño y uno de los juegos formales más habituales es el de combinar varias espirales a partir de un mismo núcleo, como en este ejemplo.

Para trazarlas se repite proceso iniciando en cada vértice la curva.

Óvalo clásico, conocido eje mayor

El óvalo es una curva plana de enlace tangencial, cerrada, conformada por 4 arcos de circunferencia, simétricos dos a dos. El óvalo clásico -óvalo tondo, muy utilizado como formato de pinturas en el Renacimiento- tiene distribuidos los centros del diámetro mayor a distancia el radio, por lo que su trazado se inicia con la división del diámetro mayor en 3 partes iguales (aplicando Teorema de Tales), siendo los puntos Q1 y Q2 los primeros centros de circunferencia y el R= distancia Q1-Q2. Una vez dibujadas estas, la intersección (pues son secantes) determina los otros dos centros de circunferencia Q3 y Q4. Las 4 líneas de centros se trazan uniendo estos centros con los de posición Q1 y Q2. Después se trazan los arcos con cada centro, para encontrarse en los puntos T de las líneas de centro.

Espiral de 2 centros

La espiral es una curva plana, abierta, que se origina en un núcleo para ir ampliándose paulatinamente y alrededor del mismo. Si el núcleo o base es regular, la espiral generada tendrá aspecto redondeado dando sensación de cierta deformación en caso de que no lo sea. La espiral más sencilla de trazar es aquella de línea tangencial a partir de dos puntos (un segmento) que serán los centros alternados de las circunferencias tangentes. La espiral se divide en dos trozos de los cuales se dibujará una parte de cada uno en cada paso de construcción, como arco de circunferencia (en este caso = a la semicircunferencia).

NOTA: puedes variar la distancia entre centros.

Enlace entre circunferencias

Las líneas de enlace tangencial son líneas mixtas, donde los distintos tramos de líneas curvas -que se pueden alternar con rectas- se unen en los puntos de tangencia. Los enlaces más sencillos se conforman a partir de circunferencias y rectas. 

Cuando se hace entre circunferencias hay dos opciones, tangencia interior y tangencia exterior, para el dibujado. En cualquier caso, se aplicará la propiedad de tangencia entre circunferencias: el punto T de Tangencia está en la Línea de Centros LC.
Puedes variar el tipo de tangencia cambiando la posición del centro de la circunferencia

Ejemplo de enlace entre circunferencias
NOTA: Mueve los puntos T o los centros y observa variación de la línea.

 Las líneas de enlace entre circunferencias tienen una amplia aplicación en el diseño y son la base del trazado de las curvas de enlace tangencial (ovoides, óvalos, espirales)

Enlace recta-circunferencia

La línea de enlace tangencial es una línea mixta en la que al menos dos tipos de línea distinta se unen con el punto de tangencia. Para que sea posible la unión al menos uno de los trozos de línea a unir debe ser una curva. La línea de enlace tangencial más sencilla de trazar es la que combina tramos rectos y tramos arcos de circunferencia. Una vez determinado el punto T donde se desea hacer la unión, se aplica la propiedad de tangencia que se cumple para recta y circunferencia tangentes entre sí: En el punto T, el Radio de la circunferencia forma un ángulo de 90º con la recta tangente.

Ejemplo de enlace entre dos rectas paralelas y dos curvas

Ovoide alargado

El ovoide es una curva de enlace tangencial configurada por tangencia interior entre circunferencias, por lo tanto, la distancia entre centros será la diferencia de los radios.
El ovoide más clásico es aquél que tiene los centros de sus circunferencias en la circunferencia principal o inicial, es decir aquella en que su diámetro es igual al menor del ovoide.
Si quieres ver su construcción pincha aquí.

Sin embargo, esta circunstancia no deja de ser especial o extraordinaria, ya que los ovoides pueden variar su forma al igual que lo hacen sus "dobles" volumétricos en la naturaleza, pues los huevos de aves o de reptiles son muy variados dependiendo de la especie.

NOTA: mueve los centros Q2 y Q1 para observar diferentes posibilidades, también puedes variar R1

Óvalo, conocido el diámetro menor

El óvalo es una curva de enlace tangencial y se resuelve con 4 arcos de circunferencia. Tiene dos ejes de simetría y dos diámetros o dimensiones máximas. Si tenemos como dato el diámetro menor y conocemos el método de construcción de un ovoide a partir de su diámetro menor, es muy sencillo construirlo.

1º Se dibujan dos ejes perpendiculares, en la intersección se sitúa el centro de la circunferencia de la 1ª circunferencia con diámetro el menor del óvalo. La intersección de la circunferencia con los ejes nos da los centros de las 4 circunferencias necesarias. Las rectas que pasan por los centros situados en distinto eje, determinan las Líneas de Centros.

2º Se trazan las circunferencias (o sólo los arcos del óvalo)

La 1ª circunferencia de Radio igual al diámetro inicial.

La 2ª simétrica de la anterior.

La 3ª y la 4ª simétrica enlaza las anteriores cerrando la curva.

En el dibujo se parte de la construcción del ovoide y después se aprovecha la simetría.

Ovoide, conocido el diámetro menor

El ovoide es una curva de enlace tangencial y se traza uniendo arcos de circunferencia. Tiene forma de contorno de huevo, en su posición más característica, por ello su nombre es fácil de recordar. Tiene un eje de simetría y dos dimensiones máximas: el diámetro mayor y el menor.

Si conocemos la circunferencia cuyo diámetro es el menor del ovoide, es sencilla su construcción.

1º Se dibuja el eje y sobre él se sitúa el centro de la circunferencia (o a la inversa).

2º La perpendicular al eje, en el centro, nos determina la 1ª Línea de Centros LC1 y el primer punto de tangencia T1.

3º La recta que pasa por el extremo del diámetro y el punto intersección de la Circunferencia con el eje de simetría, es la 2ª Línea de Centros LC2. La recta simétrica sería la 3ª Línea de Centros.

4º Las circunferencias necesarias son 4:

La 1ª es la inicial

La 2ª, R= el diámetro de la inicial y centro el extremo del diámetro menor del ovoide.

La 3ª es simétrica de la anterior.

La 4ª tiene centro en la intersección de la circunferencia inicial con el eje de simetría y el Radio lo determina el punto de Tangencia en la LC2.

5º Los arcos abarcan hasta los puntos de tangencia correspondientes.

Circunferencia tangente a circunferencia

La relación de tangencia entre dos circunferencias puede ser de dos tipos: tangente exterior o tangente interior, en este último caso una de las circunferencias tiene a la otra interior "la abraza". Cuando las circunferencias son tangentes se tocan en un punto y este es común a ambas (también se puede considerar como un corte donde los dos puntos de intersección coinciden en uno sólo, es decir, punto doble). Siempre se cumple la siguiente propiedad: el punto de T Tangencia está en la Línea de Centros LC que trazan los centros de las consideradas. Si la tangencia es interior, el punto T quedará a un lado de ambos centros y si la tangencia es exterior, quedará entre los centros.

NOTA: mueve Q2 para observar tangencia exterior o interior

Homología condicionada del cuadrilátero

Si a partir de un cuadrilátero cualquiera pretendemos obtener figuras homólogas más regulares habrá que tener en cuenta varios pasos:

1º Necesitamos eje y RL, el vértice lo hallaremos según la solución que deseemos obtener.

2º Si algún par de lados será paralelo, lo dibujaremos convergente en la RL.

3º Dependiendo de los ángulos que pretendamos, dibujaremos los arcos capaces en RL (correspondientes a los lados que los determinarán).

4º Resolveremos.

Si lo que pretendemos es un simple paralelogramo, es suficiente con llegar al paso 2º de los descritos arriba. 
Si lo que necesitamos es un rectángulo, en el paso 3º tendremos en cuenta el ángulo de 90º, cualquier punto en este único arco capaz nos lo facilitará, excepto el caso en que se cumplan además las diagonales a 90º (otro arco capaz cortando al anterior lo sitúa), pues obtendremos un cuadrado.

Para romboides y rombos, se procede de similar manera.

Cuando trabajemos con la circunferencia o con otras curvas, las podremos relacionar con cuadrado y cuadrículas que luego serán útiles para el trazado.

Figura homóloga condicionada

En homología, manejando la recta límite y la posición del centro de homología (vértice de radiación) es posible predeterminar el tipo de 2ª figura que deseamos conseguir a partir de la previa. Tenemos que tener en cuenta que la 1ª figura tendrá inicialmente el mismo nº de lados si es poligonal.

Relaciones a tener en cuenta:

1ª Las rectas convergentes en RL forman homólogas paralelas.

2ª El vector posición de V con respecto de la intersección de la recta con RL, determina la dirección de la homóloga, si queremos determinar el ángulo entre dos homólogas, hay que forzarlo en las direcciones con V previas.

3ª El ángulo que determina un punto respecto de un segmento se puede concretar como el inscrito del arco capaz.

4ª Si se sitúa un vértice en la RL (o más), en la homóloga será impropio por lo que producirá una figura abierta.

5ª Si la figura se sitúa secante por RL, la figura homóloga se formará cortada (unión en puntos impropios).

Por lo tanto, si deseamos trazar un triángulo homólogo concreto, debemos partir de forma triangular (teniendo en cuenta su relación con RL), predeterminar la posición de V con los ángulos que queramos obtener, dibujando los arcos capaces de dos de los ángulos sobre la RL (entre las rectas en que sus homólogas deban darlos). La intersección de los arcos es V.

NOTA: Hay que asegurarse de seleccionar bien el ángulo del vértice triangular.

En el caso de un cuadrilátero, si se desean lados paralelos, las rectas lado opuestas deberán converger en la RL.

En el caso de circunferencia (que habrá que inscribir en cuadrilátero), si está separada de RL conseguiremos homóloga circunferencia o elipse. Si está tangente a RL se obtendrá la parábola. Y si es secante a RL, la hipérbola.